Învață să rezolvi sistemele de inecuații liniare și de gradul al doilea cu ajutorul tabelului semnelor, al intersecției mulțimilor soluție și al scrierii corecte a intervalelor în notație cu mulțimi.
Exercițiul 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 2 < x < 3 \]
Rezolvare
Prima inecuație
\(2x-4>0 \implies x>2\)
A doua inecuație
\(x-3<0 \implies x<3\)
Tabelul semnelor
Rândul Sist. este evidențiat acolo unde ambele condiții sunt satisfăcute simultan.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (2,\,3) \]
Rezultat
\[ \boxed{2 < x < 3} \]
Exercițiul 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -2 < x < 5 \]
Rezolvare
Prima inecuație
\(x+2>0 \implies x>-2\)
A doua inecuație
\(x-5<0 \implies x<5\)
Tabelul semnelor
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-2,\,5) \]
Rezultat
\[ \boxed{-2 < x < 5} \]
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 3x + 1 \geq 0 \\ 2x - 4 \leq 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -\dfrac{1}{3} \leq x \leq 2 \]
Rezolvare
Prima inecuație
\(3x+1\geq0 \implies x\geq-\tfrac{1}{3}\)
A doua inecuație
\(2x-4\leq0 \implies x\leq2\)
Tabelul semnelor
Cercurile pline indică capetele incluse.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \left[-\tfrac{1}{3},\,2\right] \]
Rezultat
\[ \boxed{-\dfrac{1}{3} \leq x \leq 2} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 4 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ \text{Nicio soluție} \quad (S = \emptyset) \]
Rezolvare
Prima inecuație
\(x-1>0 \implies x>1\)
A doua inecuație
\(x+4<0 \implies x<-4\)
Observație
Cele două condiții \(x>1\) și \(x<-4\) sunt incompatibile: nu există niciun număr real \(x\) care să le satisfacă pe amândouă simultan.
Tabelul semnelor
Rândul Sist. este în întregime gri: nicio regiune nu reprezintă o soluție.
Rezultat
\[ \boxed{S = \emptyset} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -3 < x < -2 \quad \text{sau} \quad x > 2 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2-4>0\)
\[ (x-2)(x+2)>0 \implies x < -2 \;\text{ sau }\; x>2 \]
A doua inecuație: \(x+3>0\)
\[ x > -3 \]
Tabelul semnelor
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-3,\,-2)\cup(2,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{-3 < x < -2 \quad \text{sau} \quad x > 2} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 9 \leq 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 1 < x \leq 3 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2-9\leq0\)
\[ (x-3)(x+3)\leq0 \implies -3\leq x\leq3 \]
A doua inecuație: \(x-1>0\)
\[ x > 1 \]
Tabelul semnelor
Cercul plin în \(x=3\) indică că extrema dreaptă este inclusă (din prima inecuație, \(\leq\)).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (1,\,3] \]
Rezultat
\[ \boxed{1 < x \leq 3} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 > 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ x < 1 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2-3x+2>0\)
\[ (x-1)(x-2)>0 \implies x < 1 \;\text{ sau }\; x>2 \]
A doua inecuație: \(x-2<0\)
\[ x < 2 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((x<1\text{ sau }x>2)\cap(x<2) = x<1\).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-\infty,\,1) \]
Rezultat
\[ \boxed{x < 1} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \leq 0 \\ x^2 - 4 \geq 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 2 \leq x \leq 3 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2-5x+6\leq0\)
\[ (x-2)(x-3)\leq0 \implies 2\leq x\leq3 \]
A doua inecuație: \(x^2-4\geq0\)
\[ (x-2)(x+2)\geq0 \implies x\leq-2 \;\text{ sau }\; x\geq2 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \([2,3]\cap(x\leq-2\text{ sau }x\geq2)=[2,3]\).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [2,\,3] \]
Rezultat
\[ \boxed{2 \leq x \leq 3} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x^2 - x - 1 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \leq 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 1 < x \leq 3 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(2x^2-x-1>0\)
\[ (2x+1)(x-1)>0 \implies x < -\tfrac{1}{2} \;\text{ sau }\; x>1 \]
A doua inecuație: \(x^2-4x+3\leq0\)
\[ (x-1)(x-3)\leq0 \implies 1\leq x\leq3 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((x<-\tfrac{1}{2}\text{ sau }x>1)\cap[1,3]=(1,3]\). Punctul \(x=1\) este exclus deoarece prima inecuație este strictă.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (1,\,3] \]
Rezultat
\[ \boxed{1 < x \leq 3} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x^2 - x - 6 < 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -1 \leq x < 3 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2-x-6<0\)
\[ (x-3)(x+2)<0 \implies -2 < x < 3 \]
A doua inecuație: \(x+1\geq0\)
\[ x \geq -1 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((-2,3)\cap[-1,+\infty)=[-1,3)\). Cercul plin în \(x=-1\) este inclus (din a doua inecuație, \(\geq\)); \(x=3\) este exclus (din prima, strictă).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [-1,\,3) \]
Rezultat
\[ \boxed{-1 \leq x < 3} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 \geq 0 \\ x^2 + x - 6 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -3 < x \leq -1 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2-2x-3\geq0\)
\[ (x-3)(x+1)\geq0 \implies x\leq-1 \;\text{ sau }\; x\geq3 \]
A doua inecuație: \(x^2+x-6<0\)
\[ (x+3)(x-2)<0 \implies -3 < x < 2 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((x\leq-1\text{ sau }x\geq3)\cap(-3,2)=(-3,-1]\). Cercul plin în \(x=-1\) este inclus; \(x=-3\) este exclus (a doua inecuație, strictă).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-3,\,-1] \]
Rezultat
\[ \boxed{-3 < x \leq -1} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x+2} > 0 \\[6pt] x^2 - 9 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -3 < x < -2 \quad \text{sau} \quad 1 < x < 3 \]
Rezolvare
Prima inecuație
\[ \frac{x-1}{x+2}>0 \implies x < -2 \;\text{ sau }\; x>1 \quad (x\neq-2) \]
A doua inecuație: \(x^2-9<0\)
\[ (x-3)(x+3)<0 \implies -3 < x < 3 \]
Tabelul semnelor
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-3,\,-2)\cup(1,\,3) \]
Rezultat
\[ \boxed{-3 < x < -2 \quad \text{sau} \quad 1 < x < 3} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} (x-2)^2 > 0 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -1 < x < 1 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \((x-2)^2>0\)
Un pătrat este întotdeauna \(\geq0\); este egal cu \(0\) numai în \(x=2\). Prin urmare, \((x-2)^2>0\) pentru orice \(x\neq2\).
A doua inecuație: \(x^2-1<0\)
\[ (x-1)(x+1)<0 \implies -1 < x < 1 \]
Tabelul semnelor
Prima condiție este satisfăcută oriunde, cu excepția lui \(x=2\), care nu aparține oricum intervalului \((-1,1)\). Intersecția este deci chiar \((-1,1)\).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-1,\,1) \]
Rezultat
\[ \boxed{-1 < x < 1} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x^2 + x - 2 \geq 0 \\ x^2 - x - 6 \leq 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ x = -2 \quad \text{sau} \quad 1 \leq x \leq 3 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2+x-2\geq0\)
\[ (x+2)(x-1)\geq0 \implies x\leq-2 \;\text{ sau }\; x\geq1 \]
A doua inecuație: \(x^2-x-6\leq0\)
\[ (x-3)(x+2)\leq0 \implies -2\leq x\leq3 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((x\leq-2\text{ sau }x\geq1)\cap[-2,3]=\{-2\}\cup[1,3]\).
Punctul izolat \(x=-2\) aparține ambelor mulțimi: \(x=-2\leq-2\) ✓ și \(-2\leq-2\leq3\) ✓.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \{-2\}\cup[1,\,3] \]
Rezultat
\[ \boxed{x=-2 \quad \text{sau} \quad 1\leq x\leq3} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 1 < x < 2 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2-5x+6>0\)
\[ (x-2)(x-3)>0 \implies x < 2 \;\text{ sau }\; x>3 \]
A doua inecuație: \(x^2-4x+3<0\)
\[ (x-1)(x-3)<0 \implies 1 < x < 3 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((x<2\text{ sau }x>3)\cap(1<x<3)=(1,2)\).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (1,\,2) \]
Rezultat
\[ \boxed{1 < x < 2} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ (x-1)(x-4) \leq 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 3 < x \leq 4 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x(x-3)>0\)
\[ x<0 \;\text{ sau }\; x>3 \]
A doua inecuație: \((x-1)(x-4)\leq0\)
\[ 1\leq x\leq4 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((x<0\text{ sau }x>3)\cap[1,4]=(3,4]\). Cercul plin în \(x=4\) este inclus.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (3,\,4] \]
Rezultat
\[ \boxed{3 < x \leq 4} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} (x+2)(x-1) > 0 \\ (x-4)(x+1) < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 1 < x < 4 \]
Rezolvare
Prima inecuație
\[ (x+2)(x-1)>0 \implies x < -2 \;\text{ sau }\; x>1 \]
A doua inecuație
\[ (x-4)(x+1)<0 \implies -1 < x < 4 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((x<-2\text{ sau }x>1)\cap(-1,4)=(1,4)\). Notă: \((-\infty,-2)\cap(-1,4)=\emptyset\).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (1,\,4) \]
Rezultat
\[ \boxed{1 < x < 4} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 - 9 \geq 0 \\ x^2 - 4x - 5 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 3 \leq x < 5 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2-9\geq0\)
\[ (x-3)(x+3)\geq0 \implies x\leq-3 \;\text{ sau }\; x\geq3 \]
A doua inecuație: \(x^2-4x-5<0\)
\[ (x-5)(x+1)<0 \implies -1 < x < 5 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((x\leq-3\text{ sau }x\geq3)\cap(-1,5)=[3,5)\). Cercul plin în \(x=3\) este inclus; \(x=5\) este exclus.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [3,\,5) \]
Rezultat
\[ \boxed{3 \leq x < 5} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} |x - 2| < 3 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 1 < x < 5 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(|x-2|<3\)
\[ -3 < x-2 < 3 \implies -1 < x < 5 \]
Echivalentă cu \((x+1)(x-5)<0\).
A doua inecuație: \(x^2-1>0\)
\[ (x-1)(x+1)>0 \implies x < -1 \;\text{ sau }\; x>1 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \((-1,5)\cap(x<-1\text{ sau }x>1)=(1,5)\).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (1,\,5) \]
Rezultat
\[ \boxed{1 < x < 5} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 - x - 2 \leq 0 \\ x(x-3) > 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -1 \leq x < 0 \]
Rezolvare
Prima inecuație: \(x^2-x-2\leq0\)
\[ (x-2)(x+1)\leq0 \implies -1\leq x\leq2 \]
A doua inecuație: \(x(x-3)>0\)
\[ x<0 \;\text{ sau }\; x>3 \]
Tabelul semnelor
Intersecție: \([-1,2]\cap(x<0\text{ sau }x>3)=[-1,0)\). Cercul plin în \(x=-1\) este inclus (prima inecuație, \(\leq\)); \(x=0\) este exclus (a doua, strictă).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [-1,\,0) \]
Rezultat
\[ \boxed{-1 \leq x < 0} \]