Un sistem de inecuații este format din două sau mai multe inecuații care trebuie verificate simultan.
A rezolva un sistem de inecuații înseamnă a determina toate și numai acele valori ale necunoscutei care satisfac simultan fiecare condiție impusă de sistem.
Din punct de vedere al teoriei mulțimilor, soluția unui sistem se obține prin intersecția mulțimilor soluție ale inecuațiilor individuale.
Cuprins
- Definiția unui sistem de inecuații
- Principiul fundamental
- Intersecția mulțimilor soluție
- Interpretare grafică pe dreapta reală
- Sisteme de inecuații liniare
- Sisteme cu inecuații de gradul al doilea
- Sisteme cu inecuații fracționare
- Exemplu complet cu studiul semnului
- Sisteme imposibile și sisteme întotdeauna verificate
- Cele mai frecvente greșeli
- Schema generală de rezolvare
Definiția unui sistem de inecuații
Un sistem de inecuații este un ansamblu de condiții exprimate prin inecuații care trebuie verificate simultan de aceeași necunoscută.
De exemplu:
\[ \begin{cases} x-1>0,\\ 2x+3\le 7. \end{cases} \]
O soluție a sistemului este un număr real care face adevărate ambele inecuații.
Nu este suficient să fie satisfăcută o singură condiție: toate inecuațiile sistemului trebuie să fie verificate simultan.
Dacă notăm cu:
\[ S_1 \]
mulțimea soluție a primei inecuații și cu:
\[ S_2 \]
mulțimea soluție a celei de-a doua, atunci soluția sistemului va fi:
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Principiul fundamental
Principiul fundamental al sistemelor de inecuații afirmă că:
mulțimea soluție a unui sistem este intersecția mulțimilor soluție ale inecuațiilor individuale.
Acest principiu derivă direct din semnificația cuvântului „sistem": toate condițiile trebuie să fie adevărate simultan.
Pentru a rezolva corect un sistem, este indicat să se procedeze astfel:
- se rezolvă separat fiecare inecuație;
- se determină mulțimile soluție corespunzătoare;
- se calculează intersecția finală.
Cea mai frecventă greșeală constă tocmai în omiterea ultimului pas.
Intersecția mulțimilor soluție
Considerăm sistemul:
\[ \begin{cases} x>1,\\ x\le 4. \end{cases} \]
Prima inecuație are soluția:
\[ S_1=(1,+\infty). \]
A doua inecuație are soluția:
\[ S_2=(-\infty,4]. \]
Soluția sistemului este:
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Căutăm, prin urmare, numerele care aparțin simultan ambelor mulțimi.
Obținem:
\[ S=(1,4]. \]
Într-adevăr:
- numerele trebuie să fie strict mai mari decât \(1\);
- trebuie să fie totodată mai mici sau egale cu \(4\).
Intersecția reprezintă, astfel, partea comună a celor două mulțimi soluție.
Interpretare grafică pe dreapta reală
În cazul sistemelor de inecuații, este foarte util să se reprezinte mulțimile soluție pe dreapta reală.
Aceasta permite vizualizarea imediată a părții comune a soluțiilor.
Considerăm:
\[ \begin{cases} x\ge -2,\\ x<3. \end{cases} \]
Prima inecuație reprezintă toate numerele mai mari sau egale cu \(-2\).
Simbolul:
\[ \ge \]
indică faptul că extremul aparține mulțimii soluție.
A doua inecuație reprezintă toate numerele mai mici decât \(3\).
Simbolul:
\[ < \]
indică faptul că \(3\) nu aparține soluției.
Prin intersecție obținem:
\[ [-2,3). \]
Grafic, această soluție corespunde porțiunii dreptei reale cuprinse între \(-2\) și \(3\), incluzând primul capăt, dar excluzând pe al doilea.
Sisteme de inecuații liniare
Cele mai simple sisteme sunt cele formate din inecuații de gradul întâi.
Considerăm:
\[ \begin{cases} 2x-1>3,\\ x+4\le 9. \end{cases} \]
Rezolvăm prima inecuație:
\[ 2x-1>3. \]
Adunăm \(1\) la ambii membri:
\[ 2x>4. \]
Împărțind prin \(2\), obținem:
\[ x>2. \]
Rezolvăm acum a doua inecuație:
\[ x+4\le 9. \]
Scăzând \(4\), obținem:
\[ x\le 5. \]
Trebuie, prin urmare, să intersectăm:
\[ x>2 \]
cu:
\[ x\le 5. \]
Obținem:
\[ S=(2,5]. \]
Soluția conține, astfel, toate numerele strict mai mari decât \(2\) și totodată mai mici sau egale cu \(5\).
Sisteme cu inecuații de gradul al doilea
Un sistem poate conține și inecuații de gradul al doilea.
Considerăm:
\[ \begin{cases} x^2-4>0,\\ x-1\le 0. \end{cases} \]
Rezolvăm prima inecuație:
\[ x^2-4>0. \]
Descompunem diferența de pătrate:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obținem, prin urmare:
\[ (x-2)(x+2)>0. \]
Un produs este strict pozitiv atunci când factorii au același semn.
Studiem, prin urmare, semnul produsului în intervalele determinate de zerourile factorilor.
- dacă \(x<-2\), ambii factori sunt negativi și, prin urmare, produsul este pozitiv;
- dacă \(-2<x<2\), cei doi factori au semne opuse și, prin urmare, produsul este negativ;
- dacă \(x>2\), ambii factori sunt pozitivi și, prin urmare, produsul este pozitiv.
Soluția primei inecuații este, prin urmare:
\[ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
Rezolvăm acum a doua inecuație:
\[ x-1\le 0. \]
Obținem:
\[ x\le 1. \]
Intersectăm acum cele două mulțimi soluție:
\[ \left[(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\right]\cap(-\infty,1]. \]
Soluția sistemului este:
\[ S=(-\infty,-2). \]
Într-adevăr, numerele mai mari decât \(2\) nu pot aparține soluției, deoarece trebuie să fie totodată mai mici sau egale cu \(1\).
Sisteme cu inecuații fracționare
În sistemele cu inecuații fracționare trebuie acordată o atenție deosebită condițiilor de existență.
Considerăm:
\[ \begin{cases} \dfrac{x+1}{x-2}>0,\\ x<5. \end{cases} \]
Fracția nu este definită atunci când numitorul este nul.
Trebuie, prin urmare, să impunem:
\[ x\ne 2. \]
Studiem acum semnul fracției:
\[ \frac{x+1}{x-2}>0. \]
Zerourile numărătorului și ale numitorului sunt:
\[ x=-1, \qquad x=2. \]
O fracție este strict pozitivă atunci când numărătorul și numitorul sunt ambii pozitivi sau ambii negativi.
Obținem, prin urmare:
\[ x<-1 \qquad \text{sau} \qquad x>2. \]
A doua inecuație impune:
\[ x<5. \]
Intersectând:
\[ (-\infty,-1)\cup(2,+\infty) \]
cu:
\[ (-\infty,5), \]
obținem:
\[ S=(-\infty,-1)\cup(2,5). \]
Valoarea:
\[ x=5 \]
nu aparține soluției, deoarece a doua inecuație impune condiția strictă:
\[ x<5. \]
De asemenea:
\[ x=2 \]
trebuie exclus, deoarece anulează numitorul.
Exemplu complet cu studiul semnului
Considerăm sistemul:
\[ \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-1}\ge 0,\\ x<3. \end{cases} \]
Descompunem numărătorul:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Obținem:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge 0. \]
Punctele critice sunt:
\[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=2. \]
Valoarea:
\[ x=1 \]
trebuie exclusă, deoarece anulează numitorul.
Studiem acum semnul fracției în intervalele determinate de punctele critice.
- pentru \(x<-2\), fracția este negativă;
- pentru \(-2<x<1\), fracția este pozitivă;
- pentru \(1<x<2\), fracția este negativă;
- pentru \(x>2\), fracția este pozitivă.
Deoarece inecuația este:
\[ \ge 0, \]
trebuie să includem și zerourile numărătorului:
\[ x=-2, \qquad x=2. \]
Soluția primei inecuații este, prin urmare:
\[ [-2,1)\cup[2,+\infty). \]
A doua inecuație impune:
\[ x<3. \]
Prin intersecție obținem:
\[ S=[-2,1)\cup[2,3). \]
Sisteme imposibile și sisteme întotdeauna verificate
Un sistem poate fi:
- imposibil, dacă nu există soluții;
- întotdeauna verificat, dacă toate numerele reale satisfac sistemul.
Considerăm:
\[ \begin{cases} x>3,\\ x<1. \end{cases} \]
Niciun număr real nu poate fi simultan mai mare decât \(3\) și mai mic decât \(1\).
Intersecția este, prin urmare, vidă:
\[ S=\varnothing. \]
Considerăm în schimb:
\[ \begin{cases} x^2+1>0,\\ x^2+2>0. \end{cases} \]
Deoarece:
\[ x^2\ge 0 \]
pentru orice număr real, ambele inecuații sunt întotdeauna adevărate.
Soluția este, prin urmare:
\[ S=\mathbb{R}. \]
Cele mai frecvente greșeli
În sistemele de inecuații, cele mai frecvente greșeli sunt:
- omiterea intersectării mulțimilor soluție;
- reunirea soluțiilor în loc de intersectarea lor;
- inversarea eronată a sensului inecuației;
- omiterea condițiilor de existență în inecuațiile fracționare;
- greșeli în studiul semnului.
O greșeală foarte frecventă constă în uitarea faptului că sensul inecuației se inversează atunci când se înmulțește sau se împarte cu un număr negativ.
De exemplu:
\[ -2x>4. \]
Împărțind prin \(-2\), trebuie inversat sensul:
\[ x<-2. \]
A scrie:
\[ x>-2 \]
ar fi greșit.
Schema generală de rezolvare
În general, pentru a rezolva corect un sistem de inecuații, este indicat să se urmeze întotdeauna această schemă:
- se rezolvă separat fiecare inecuație;
- se determină cu precizie mulțimile soluție;
- se reprezintă, dacă este cazul, soluțiile pe dreapta reală;
- se calculează intersecția mulțimilor obținute;
- se scrie rezultatul final sub formă de interval sau de reuniune de intervale.
Această procedură permite abordarea corectă a marii majorități a sistemelor de inecuații studiate în algebră.