Studiul semnului unei funcții constă în determinarea valorilor variabilei pentru care funcția ia valori pozitive, negative sau nule.
Cu alte cuvinte, dată o funcție \(f\), dorim să stabilim pentru ce valori ale lui \(x\) sunt îndeplinite condițiile:
\[ f(x)>0,\qquad f(x)=0,\qquad f(x)<0. \]
Această procedură este esențială în studiul ecuațiilor, inecuațiilor, funcțiilor polinomiale, funcțiilor fracționare și, mai general, în studiul graficului unei funcții.
Cuprins
- Ce înseamnă studiul semnului unei funcții
- Mulțimea de pozitivitate, de negativitate și zerourile funcției
- Metoda generală de studiu al semnului
- Studiul semnului unui produs
- Studiul semnului unei funcții raționale
- Zerouri de multiplicitate pară și impară
- Factori întotdeauna pozitivi sau întotdeauna negativi
- Exemplu complet rezolvat
- Greșeli frecvente
Ce înseamnă studiul semnului unei funcții
A studia semnul unei funcții înseamnă a determina pe ce intervale din domeniul său de definiție funcția este pozitivă, negativă sau nulă.
Din punct de vedere geometric:
- \(f(x)>0\) înseamnă că graficul funcției se află deasupra axei \(Ox\);
- \(f(x)<0\) înseamnă că graficul funcției se află sub axa \(Ox\);
- \(f(x)=0\) înseamnă că graficul intersectează sau atinge axa \(Ox\).
Zerourile funcției sunt, prin urmare, punctele în care graficul întâlnește axa absciselor.
Mulțimea de pozitivitate, de negativitate și zerourile funcției
Fie \(f\) o funcție definită pe domeniul \(D_f\).
Se numește mulțime de pozitivitate a lui \(f\) mulțimea valorilor \(x\in D_f\) pentru care:
\[ f(x)>0. \]
Se numește mulțime de negativitate a lui \(f\) mulțimea valorilor \(x\in D_f\) pentru care:
\[ f(x)<0. \]
Zerourile funcției sunt valorile din domeniu pentru care:
\[ f(x)=0. \]
Este important de subliniat că zerourile trebuie să aparțină domeniului de definiție al funcției. O valoare care anulează numitorul, de exemplu, nu este un zero al funcției — este un punct exclus din domeniu.
Metoda generală de studiu al semnului
Metoda generală de studiu al semnului unei funcții algebrice se bazează pe câțiva pași fundamentali.
1. Determinarea domeniului de definiție
Primul pas constă în determinarea domeniului \(D_f\), adică a mulțimii valorilor pentru care funcția este definită.
De exemplu, pentru:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
numitorul nu poate fi nul. Prin urmare:
\[ x+3\neq 0, \]
adică:
\[ x\neq -3. \]
Domeniul de definiție este:
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}. \]
2. Factorizarea funcției
Ori de câte ori este posibil, expresia funcției se descompune în factori simpli.
De exemplu:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Factorizarea permite studierea separată a semnului fiecărui factor în parte.
3. Găsirea zerourilor și a punctelor excluse
Zerourile funcției se obțin anulând numărătorul sau, în cazul unui produs, anulând cel puțin unul dintre factori.
Punctele excluse se obțin din valorile care anulează numitorul sau care fac funcția nedefinită.
4. Ordonarea punctelor critice pe dreapta reală
Zerourile și punctele excluse împart dreapta reală în intervale. Pe fiecare dintre aceste intervale semnul funcției rămâne constant, cu condiția ca funcția să fie alcătuită din factori continui care nu se anulează în interiorul intervalului.
5. Construirea tabelului semnelor
În final se construiește tabelul semnelor, studiind semnul fiecărui factor pe fiecare interval și combinând apoi rezultatele.
Studiul semnului unui produs
Considerăm o funcție scrisă ca produs de factori:
\[ f(x)=A(x)\cdot B(x). \]
Semnul lui \(f(x)\) depinde de semnele celor doi factori.
Reamintim regulile fundamentale:
\[ (+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+, \]
respectiv:
\[ (+)\cdot(-)=-,\qquad (-)\cdot(+)=-. \]
Prin urmare, un produs este pozitiv atunci când conține un număr par de factori negativi și negativ atunci când conține un număr impar de factori negativi.
Exemplu
Studiem semnul funcției:
\[ f(x)=(x+1)(x-3). \]
Zerourile sunt:
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Punctele \(-1\) și \(3\) împart dreapta reală în intervalele:
\[ (-\infty,-1),\qquad (-1,3),\qquad (3,+\infty). \]
Studiem semnul factorilor:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,3) & (3,+\infty)\\ \hline x+1 & - & + & +\\ x-3 & - & - & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
Prin urmare:
\[ f(x)>0 \text{ pentru } x<-1 \text{ sau } x>3, \]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=-1 \text{ și } x=3, \]
\[ f(x)<0 \text{ pentru } -1<x<3. \]
Studiul semnului unei funcții raționale
O funcție fracționară are forma:
\[ f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}. \]
În acest caz trebuie făcută o distincție foarte clară între:
- zerourile numărătorului, care pot fi zerouri ale funcției;
- zerourile numitorului, care sunt puncte excluse din domeniu.
O fracție este pozitivă atunci când numărătorul și numitorul au același semn:
\[ \frac{+}{+}=+,\qquad \frac{-}{-}=+. \]
Este negativă atunci când numărătorul și numitorul au semne opuse:
\[ \frac{+}{-}=-,\qquad \frac{-}{+}=-. \]
Exemplu
Studiem semnul funcției:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
Numitorul se anulează pentru:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3, \]
deci:
\[ x\neq -3. \]
Numărătorul se anulează pentru:
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1. \]
Studiem semnul pe intervalele determinate de \(-3\) și \(1\):
\[ (-\infty,-3),\qquad (-3,1),\qquad (1,+\infty). \]
Tabelul semnelor este:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-3) & (-3,1) & (1,+\infty)\\ \hline x-1 & - & - & +\\ x+3 & - & + & +\\ \hline f(x) & + & - & + \end{array} \]
Prin urmare:
\[ f(x)>0 \text{ pentru } x<-3 \text{ sau } x>1, \]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=1, \]
\[ f(x)<0 \text{ pentru } -3<x<1. \]
Punctul \(x=-3\) nu este un zero al funcției: este exclus din domeniu.
Zerouri de multiplicitate pară și impară
Un aspect important în studiul semnului privește multiplicitatea zerourilor.
Considerăm un factor de forma:
\[ (x-a)^m. \]
Numărul \(m\) se numește multiplicitatea zeroului \(x=a\).
Multiplicitate impară
Dacă \(m\) este impar, factorul își schimbă semnul trecând prin \(x=a\).
De exemplu:
\[ (x-2)^3 \]
este negativ pentru \(x<2\) și pozitiv pentru \(x>2\).
Într-adevăr:
\[ (x-2)^3<0 \text{ pentru } x<2, \]
respectiv:
\[ (x-2)^3>0 \text{ pentru } x>2. \]
Multiplicitate pară
Dacă \(m\) este par, factorul nu își schimbă semnul trecând prin \(x=a\).
De exemplu:
\[ (x-2)^2 \]
este întotdeauna nenegativ:
\[ (x-2)^2\ge 0 \]
pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), și se anulează numai pentru \(x=2\).
În particular:
\[ (x-2)^2>0 \text{ pentru } x\neq 2. \]
Din acest motiv, în tabelul semnelor, un zero de multiplicitate pară nu produce o schimbare de semn.
Factori întotdeauna pozitivi sau întotdeauna negativi
Anumiți factori nu își schimbă niciodată semnul.
De exemplu:
\[ x^2+1>0 \]
pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deoarece \(x^2\ge 0\) și deci \(x^2+1\) este întotdeauna strict pozitiv.
De asemenea, un pătrat de forma:
\[ (x-3)^2 \]
este întotdeauna nenegativ:
\[ (x-3)^2\ge 0. \]
El se anulează numai pentru \(x=3\), dar nu schimbă semnul în acel punct.
Aceste observații sunt foarte utile deoarece permit simplificarea studiului semnului.
Exemplu complet rezolvat
Studiem semnul funcției:
\[ f(x)=\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)}. \]
Domeniul de definiție
Numitorul este:
\[ x^2(x+3). \]
Acesta se anulează pentru:
\[ x^2=0 \Rightarrow x=0, \]
sau:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
Prin urmare:
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3,0\}. \]
Zerourile funcției
Zerourile se obțin anulând numărătorul:
\[ (x+1)^2(x-2)=0. \]
Rezultă:
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
Valoarea \(x=-1\) este un zero dublu, deoarece apare factorul \((x+1)^2\).
Studiul semnului factorilor
Factorii de analizat sunt:
\[ (x+1)^2,\qquad x-2,\qquad x^2,\qquad x+3. \]
Factorii \((x+1)^2\) și \(x^2\) sunt întotdeauna nenegativi și nu schimbă semnul.
Semnul funcției depinde, prin urmare, de factorii \(x-2\) și \(x+3\), ținând cont de zerouri și de punctele excluse.
Punctele critice sunt:
\[ -3,\qquad -1,\qquad 0,\qquad 2. \]
Tabelul semnelor este:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-3) & (-3,-1) & (-1,0) & (0,2) & (2,+\infty)\\ \hline (x+1)^2 & + & + & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & +\\ x^2 & + & + & + & + & +\\ x+3 & - & + & + & + & +\\ \hline f(x) & + & - & - & - & + \end{array} \]
Concluzie
Funcția este pozitivă pentru:
\[ x<-3 \text{ sau } x>2. \]
Funcția este negativă pentru:
\[ -3<x<0 \text{ sau } 0<x<2. \]
Funcția se anulează pentru:
\[ x=-1,\qquad x=2. \]
Punctele:
\[ x=-3,\qquad x=0 \]
sunt excluse din domeniu.
Greșeli frecvente în studiul semnului
A omite domeniul de definiție
În cazul funcțiilor fracționare, determinarea domeniului este primul pas obligatoriu. O valoare care anulează numitorul trebuie exclusă, chiar dacă ulterior un factor se simplifică.
A confunda zerourile cu punctele excluse
Un zero al funcției este o valoare pentru care \(f(x)=0\). Un punct exclus din domeniu, în schimb, nu aparține funcției.
De exemplu, pentru funcția:
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}, \]
\(x=1\) este un zero, iar \(x=-3\) este un punct exclus din domeniu.
A ignora multiplicitatea zerourilor
Un zero de multiplicitate impară produce o schimbare de semn. Un zero de multiplicitate pară, în schimb, nu produce nicio schimbare de semn.
A simplifica fără a păstra excluderile
Considerăm:
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)}. \]
Pentru \(x\neq 2\), putem simplifica factorul \(x-2\):
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3}. \]
Cu toate acestea, valoarea \(x=2\) rămâne exclusă din domeniul funcției inițiale.
Acesta este un aspect fundamental: o simplificare poate modifica expresia, dar nu elimină condițiile de existență ale funcției de pornire.
În concluzie, studiul semnului este o procedură esențială pentru înțelegerea comportamentului unei funcții. Metoda corectă constă în determinarea domeniului de definiție, factorizarea expresiei, identificarea zerourilor și a punctelor excluse, studierea semnului fiecărui factor și, în final, combinarea informațiilor în tabelul semnelor.