În această pagină propunem 20 de exerciții rezolvate despre subșiruri, explicate pas cu pas și concepute pentru a consolida atât definiția formală, cât și semnificația conceptuală a acestui instrument fundamental în studiul șirurilor numerice.
Exercițiile conduc treptat de la recunoașterea unui subșir la alegerea corectă a indicilor, până la studiul comportamentului la limită. În particular, vom vedea cum se verifică dacă un șir este subșir al altuia, cum se calculează subșiruri date și cum se folosesc două subșiruri cu limite diferite pentru a demonstra neconvergența unui șir.
Reamintim că un subșir al lui \((a_n)\) este un șir de forma
\[ (a_{k_n}), \]
unde \((k_n)\) este un șir strict crescător de indici naturali, adică
\[ k_n<k_{n+1} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). Vom presupune, ca în teorie, că \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Scopul nu este doar de a aplica mecanic o definiție, ci de a înțelege de ce ordinea indicilor este esențială, de ce orice subșir al unui șir convergent are aceeași limită ca șirul inițial și de ce subșirurile permit adesea identificarea riguroasă a oscilațiilor, a divergențelor și a absenței convergenței.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=n^2. \]
Să se determine subșirul obținut alegând indicii pari, adică punând
\[ k_n=2n. \]
Rezultat
Subșirul este
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Așadar
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Rezolvare
Un subșir se obține alegând un șir strict crescător de indici naturali \((k_n)\) și considerând termenii corespunzători \(a_{k_n}\).
În acest caz, indicii aleși sunt
\[ k_n=2n. \]
Deoarece \(n\in\mathbb{N}\), indicii sunt
\[ 0,2,4,6,\dots \]
și sunt strict crescători. Într-adevăr, pentru orice \(n\in\mathbb{N}\),
\[ 2n<2n+2. \]
Prin urmare, putem construi efectiv un subșir.
Șirul inițial este
\[ a_n=n^2. \]
Pentru a obține subșirul corespunzător indicilor \(2n\), înlocuim \(n\) cu \(2n\):
\[ a_{2n}=(2n)^2. \]
Dezvoltând pătratul, obținem
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Scriem primii termeni pentru a interpreta rezultatul:
\[ a_0=0^2=0,\qquad a_2=2^2=4,\qquad a_4=4^2=16,\qquad a_6=6^2=36. \]
Așadar, subșirul este
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Conceptual, nu am construit un șir nou arbitrar: am observat pur și simplu șirul inițial doar de-a lungul indicilor pari.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=3n+1. \]
Să se determine subșirul obținut alegând indicii impari, adică punând
\[ k_n=2n+1. \]
Rezultat
Subșirul este
\[ a_{2n+1}=6n+4. \]
Așadar
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Rezolvare
Indicii impari sunt descriși de formula
\[ k_n=2n+1. \]
Într-adevăr, când \(n\) parcurge \(\mathbb{N}\), se obține
\[ 1,3,5,7,\dots \]
Înainte de a calcula subșirul, verificăm că acești indici sunt strict crescători. Avem
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3. \]
Deoarece
\[ 2n+1<2n+3, \]
rezultă că
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Așadar, indicii aleși sunt potriviți pentru a defini un subșir.
Șirul inițial este
\[ a_n=3n+1. \]
Subșirul corespunzător indicilor \(2n+1\) este
\[ a_{2n+1}. \]
Înlocuim deci \(n\) cu \(2n+1\) în formula lui \(a_n\):
\[ a_{2n+1}=3(2n+1)+1. \]
Efectuând calculele, obținem
\[ a_{2n+1}=6n+3+1=6n+4. \]
Scriem primii termeni:
\[ a_1=4,\qquad a_3=10,\qquad a_5=16,\qquad a_7=22. \]
Prin urmare,
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Fie \((a_n)\) un șir oarecare. Să se stabilească dacă termenii
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
pot forma începutul unui subșir al lui \((a_n)\).
Rezultat
Nu. Termenii
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
nu pot forma începutul unui subșir, deoarece indicii \(5,2,8\) nu sunt strict crescători.
Rezolvare
Pentru a forma un subșir nu este suficient să alegem câțiva termeni ai șirului inițial. Este necesar ca indicii aleși să fie strict crescători.
În acest caz, termenii indicați sunt
\[ a_5,\ a_2,\ a_8. \]
Indicii corespunzători sunt
\[ 5,\ 2,\ 8. \]
Pentru a fi începutul unui subșir, ar trebui să avem
\[ 5<2<8. \]
Dar prima inegalitate este falsă, deoarece \(5\) nu este mai mic decât \(2\).
Așadar, indicii nu respectă ordinea naturală în care termenii apar în șirul inițial.
În consecință,
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
nu pot forma începutul unui subșir.
Punctul conceptual este fundamental: un subșir poate sări peste unii termeni, dar nu se poate întoarce înapoi în indici. Ordinea termenilor șirului inițial trebuie păstrată.
De exemplu, în schimb,
\[ a_2,\ a_5,\ a_8 \]
ar putea forma începutul unui subșir, deoarece
\[ 2<5<8. \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n. \]
Să se determine subșirul indicilor pari și pe cel al indicilor impari.
Rezultat
Subșirul indicilor pari este
\[ a_{2n}=1. \]
Subșirul indicilor impari este
\[ a_{2n+1}=-1. \]
Rezolvare
Studiem separat indicii pari și indicii impari.
Indicii pari sunt dați de
\[ k_n=2n. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Deoarece \(2n\) este întotdeauna par, puterea \((-1)^{2n}\) este întotdeauna egală cu \(1\). Așadar
\[ a_{2n}=1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Prin urmare, subșirul indicilor pari este
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Indicii impari sunt în schimb dați de
\[ h_n=2n+1. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Deoarece \(2n+1\) este întotdeauna impar, puterea \((-1)^{2n+1}\) este întotdeauna egală cu \(-1\). Așadar
\[ a_{2n+1}=-1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Prin urmare, subșirul indicilor impari este
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Acest exercițiu evidențiază un fapt foarte important: același șir poate avea subșiruri cu comportamente diferite. În acest caz, un subșir este constant egal cu \(1\), iar celălalt este constant egal cu \(-1\).
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=n^2. \]
Să se stabilească dacă șirul
\[ b_n=(n+2)^2 \]
este un subșir al lui \((a_n)\).
Rezultat
Da. Șirul
\[ b_n=(n+2)^2 \]
este un subșir al lui
\[ a_n=n^2. \]
Într-adevăr,
\[ b_n=a_{n+2}. \]
Rezolvare
Pentru a stabili dacă \((b_n)\) este un subșir al lui \((a_n)\), trebuie să verificăm dacă există un șir strict crescător de indici naturali \((k_n)\) astfel încât
\[ b_n=a_{k_n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Șirul inițial este
\[ a_n=n^2. \]
Șirul pe care vrem să îl recunoaștem ca subșir este
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Observăm că \((n+2)^2\) se obține din formula \(a_n=n^2\) înlocuind \(n\) cu \(n+2\). De aceea alegem
\[ k_n=n+2. \]
Atunci
\[ a_{k_n}=a_{n+2}=(n+2)^2. \]
Dar
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Așadar
\[ b_n=a_{k_n}. \]
Acum rămâne să verificăm că \((k_n)\) este strict crescător. Avem
\[ k_n=n+2 \]
și
\[ k_{n+1}=n+3. \]
Deoarece
\[ n+2<n+3, \]
rezultă că
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Prin urmare, \((k_n)\) este un șir strict crescător de indici naturali.
Așadar, \((b_n)\) este un subșir al lui \((a_n)\).
Intuitiv, șirul \((b_n)\) se obține din \((a_n)\) eliminând primii doi termeni și păstrând toți termenii următori în aceeași ordine.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=n. \]
Să se stabilească dacă șirul
\[ b_n=-n \]
este un subșir al lui \((a_n)\).
Rezultat
Nu. Șirul
\[ b_n=-n \]
nu este un subșir al lui
\[ a_n=n. \]
Într-adevăr, nu există niciun șir strict crescător de indici naturali \((k_n)\) astfel încât
\[ b_n=a_{k_n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Rezolvare
Pentru a stabili dacă \((b_n)\) este un subșir al lui \((a_n)\), trebuie să ne întrebăm dacă există un șir strict crescător de indici naturali \((k_n)\) astfel încât
\[ b_n=a_{k_n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Șirul inițial este
\[ a_n=n. \]
Deoarece \(n\in\mathbb{N}\), termenii lui \((a_n)\) sunt
\[ 0,1,2,3,\dots. \]
Așadar, toți termenii șirului \((a_n)\) sunt numere naturale.
Șirul propus este în schimb
\[ b_n=-n. \]
Primii săi termeni sunt
\[ 0,-1,-2,-3,\dots. \]
Pentru orice \(n\ge 1\), termenul \(b_n\) este negativ.
Dar niciun termen al șirului \((a_n)\) nu este negativ. Într-adevăr, pentru orice indice natural \(k\), avem
\[ a_k=k\ge 0. \]
În consecință, de exemplu, termenul \(b_1=-1\) nu poate fi egal cu niciun termen al șirului \((a_n)\).
Așadar, nu poate exista niciun șir de indici naturali \((k_n)\) astfel încât
\[ b_n=a_{k_n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Prin urmare, \((b_n)\) nu este un subșir al lui \((a_n)\).
Punctul conceptual este următorul: un subșir trebuie format alegând termeni deja prezenți în șirul inițial. Aici, în schimb, \((b_n)\) conține termeni negativi care nu apar niciodată în șirul \((a_n)\).
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Să se stabilească dacă șirul
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
este un subșir al lui \((a_n)\).
Rezultat
Da. Șirul
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
este un subșir al lui
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Într-adevăr,
\[ b_n=a_{n^2}. \]
Rezolvare
Pentru a stabili dacă \((b_n)\) este un subșir al lui \((a_n)\), trebuie să căutăm un șir strict crescător de indici naturali \((k_n)\) astfel încât
\[ b_n=a_{k_n}. \]
Șirul inițial este
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Dacă înlocuim \(n\) cu un indice oarecare \(k_n\), obținem
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Vrem ca acest termen să coincidă cu
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1}. \]
Așadar, impunem
\[ \frac{1}{k_n+1}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Deoarece numitorii sunt pozitivi, această egalitate este echivalentă cu
\[ k_n+1=n^2+1. \]
Scăzând \(1\) din ambii membri, obținem
\[ k_n=n^2. \]
Așadar, candidatul natural este
\[ k_n=n^2. \]
Verificăm că \((k_n)\) este strict crescător. Pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), avem
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2. \]
Dezvoltând,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Deoarece
\[ 2n+1>0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), rezultă că
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Prin urmare, \((k_n)\) este strict crescător.
În plus, \(k_n=n^2\in\mathbb{N}\) pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), deci indicii aleși sunt într-adevăr indici naturali.
Avem atunci
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}=b_n. \]
Așadar, \((b_n)\) este un subșir al lui \((a_n)\).
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Fie \((k_n)\) definit prin
\[ k_n=n^2+n. \]
Să se verifice că \((k_n)\) poate fi folosit ca șir de indici pentru a construi un subșir.
Rezultat
Da. Șirul
\[ k_n=n^2+n \]
poate fi folosit ca șir de indici, deoarece este format din numere naturale și este strict crescător.
Rezolvare
Un șir \((k_n)\) poate fi folosit ca șir de indici pentru a construi un subșir dacă satisface două condiții.
Prima condiție este ca fiecare \(k_n\) să fie un număr natural.
A doua condiție este ca \((k_n)\) să fie strict crescător, adică
\[ k_n<k_{n+1} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
În cazul nostru,
\[ k_n=n^2+n. \]
Deoarece \(n\in\mathbb{N}\), avem și \(n^2+n\in\mathbb{N}\). Prin urmare, fiecare \(k_n\) este un număr natural.
Verificăm acum că \((k_n)\) este strict crescător. Calculăm \(k_{n+1}\):
\[ k_{n+1}=(n+1)^2+(n+1). \]
Dezvoltând,
\[ k_{n+1}=n^2+2n+1+n+1=n^2+3n+2. \]
Calculăm diferența:
\[ k_{n+1}-k_n=(n^2+3n+2)-(n^2+n). \]
Simplificând,
\[ k_{n+1}-k_n=2n+2. \]
Deoarece
\[ 2n+2>0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), obținem
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Așadar, \((k_n)\) este strict crescător.
Prin urmare, șirul
\[ k_n=n^2+n \]
poate fi folosit pentru a construi un subșir \((a_{k_n})\) al unui șir oarecare \((a_n)\).
Conceptual, indicii \(0,2,6,12,20,\dots\) selectează unii termeni ai șirului inițial, sărind peste alții, dar fără a se întoarce vreodată înapoi.
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Fie \((a_n)\) un șir oarecare. Să se stabilească dacă termenii
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
pot forma un subșir al lui \((a_n)\).
Rezultat
Da. Termenii
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
pot forma un subșir, deoarece indicii
\[ 1,3,6,10,\dots \]
sunt strict crescători.
Rezolvare
Pentru a verifica dacă termenii indicați pot forma un subșir, trebuie să privim indicii.
Termenii sunt
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
așadar indicii sunt
\[ 1,\ 3,\ 6,\ 10,\dots. \]
Acești indici sunt dispuși în ordine strict crescătoare, deoarece
\[ 1<3<6<10<\dots. \]
Acest lucru este deja suficient pentru a spune că termenii indicați pot forma un subșir.
Putem de asemenea recunoaște o formulă explicită pentru indici. Aceștia sunt dați de
\[ k_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
Într-adevăr:
\[ k_0=1,\qquad k_1=3,\qquad k_2=6,\qquad k_3=10. \]
Verificăm că acest șir de indici este strict crescător. Calculăm
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}-\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
Scoțând factorul comun \(\displaystyle\frac{n+2}{2}\), obținem
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{n+2}{2}\bigl((n+3)-(n+1)\bigr). \]
Deoarece
\[ (n+3)-(n+1)=2, \]
avem
\[ k_{n+1}-k_n=\frac{n+2}{2}\cdot 2=n+2. \]
Acum
\[ n+2>0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). Așadar
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Prin urmare, indicii sunt strict crescători.
Așadar, termenii
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
pot forma un subșir al lui \((a_n)\).
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Să se determine limita subșirului \((a_{2n})\).
Rezultat
Avem
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1} \]
și deci
\[ a_{2n}\to 1. \]
Rezolvare
Subșirul \((a_{2n})\) se obține alegând indicii pari, adică punând
\[ k_n=2n. \]
Înainte de a continua, observăm că indicii \(2n\) sunt strict crescători, deoarece
\[ 2n<2n+2. \]
Așadar, \((a_{2n})\) este într-adevăr un subșir al lui \((a_n)\).
Șirul inițial este
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Înlocuind \(n\) cu \(2n\), obținem
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1}. \]
Trebuie să calculăm
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n}{2n+1}. \]
Pentru a studia această limită, putem presupune \(n\ge 1\) și împărțim numărătorul și numitorul la \(n\):
\[ \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{2+\frac{1}{n}}. \]
Deoarece
\[ \frac{1}{n}\to 0, \]
obținem
\[ \frac{2}{2+\frac{1}{n}}\to \frac{2}{2+0}=1. \]
Așadar
\[ a_{2n}\to 1. \]
Acest rezultat este în acord cu teorema generală privind subșirurile: într-adevăr, șirul inițial \((a_n)\) converge la \(1\), iar orice subșir al unui șir convergent converge către aceeași limită.
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Să se demonstreze că orice subșir al lui \((a_n)\) converge la \(0\).
Rezultat
Orice subșir al lui
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
converge la \(0\).
Rezolvare
Fie \((a_{k_n})\) un subșir oarecare al lui \((a_n)\). Prin definiția subșirului, \((k_n)\) este un șir strict crescător de indici naturali.
Deoarece
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
înlocuind \(n\) cu \(k_n\) obținem
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Deoarece \((k_n)\) este strict crescător și ia valori în \(\mathbb{N}\), avem
\[ k_n\ge n \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). Într-adevăr, \(k_0\ge 0\) și, deoarece indicii sunt naturali și cresc strict, din \(k_n<k_{n+1}\) rezultă \(k_{n+1}\ge k_n+1\). Prin inducție obținem astfel \(k_n\ge n\).
Din
\[ k_n\ge n \]
rezultă
\[ k_n+1\ge n+1. \]
Deoarece \(k_n+1\) și \(n+1\) sunt numere pozitive, trecând la inverse sensul inegalității se schimbă. Așadar
\[ \frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
În plus,
\[ \frac{1}{k_n+1}>0. \]
Prin urmare, avem încadrarea
\[ 0<\frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Acum știm că
\[ \frac{1}{n+1}\to 0. \]
Conform criteriului cleștelui, rezultă că
\[ \frac{1}{k_n+1}\to 0. \]
Dar
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Așadar
\[ a_{k_n}\to 0. \]
Deoarece \((a_{k_n})\) era un subșir oarecare, am demonstrat că orice subșir al lui \((a_n)\) converge la \(0\).
Semnificația conceptuală este următoarea: un subșir poate sări peste unii termeni, dar nu poate evita comportamentul final al șirului. Deoarece termenii lui \((a_n)\) devin tot mai apropiați de \(0\), orice subșir trebuie de asemenea să devină tot mai apropiat de \(0\).
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}. \]
Să se demonstreze că subșirul \((a_{n^2})\) converge la \(2\).
Rezultat
Avem
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1} \]
și deci
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Rezolvare
Subșirul \((a_{n^2})\) se obține alegând indicii
\[ k_n=n^2. \]
Înainte de a calcula limita, verificăm că acești indici definesc într-adevăr un subșir.
Pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2\in\mathbb{N}\). În plus,
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2=2n+1. \]
Deoarece
\[ 2n+1>0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), rezultă că
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Așadar, \((n^2)\) este un șir strict crescător de indici naturali.
Calculăm acum subșirul. Deoarece
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}, \]
înlocuind \(n\) cu \(n^2\) obținem
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1}. \]
Trebuie deci să calculăm
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n^2+1}\right). \]
Deoarece
\[ n^2+1\to+\infty, \]
avem
\[ \frac{1}{n^2+1}\to 0. \]
Așadar
\[ 2+\frac{1}{n^2+1}\to 2+0=2. \]
Prin urmare,
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Acest rezultat este în acord cu teorema generală: șirul inițial converge la \(2\), deci și orice subșir al său trebuie să conveargă către aceeași limită.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n. \]
Folosind subșirurile, să se demonstreze că \((a_n)\) nu converge.
Rezultat
Șirul \((a_n)\) nu converge, deoarece posedă două subșiruri convergente către limite diferite:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{și}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Rezolvare
Pentru a demonstra că un șir nu converge, putem căuta două subșiruri care converg către limite diferite.
Într-adevăr, dacă un șir ar converge către o limită reală \(\ell\), atunci orice subșir al său ar trebui să conveargă către aceeași limită \(\ell\).
Considerăm mai întâi indicii pari:
\[ k_n=2n. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Deoarece \(2n\) este par, avem
\[ (-1)^{2n}=1. \]
Așadar
\[ a_{2n}=1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). Prin urmare,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Considerăm acum indicii impari:
\[ h_n=2n+1. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Deoarece \(2n+1\) este impar, avem
\[ (-1)^{2n+1}=-1. \]
Așadar
\[ a_{2n+1}=-1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). Prin urmare,
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Am găsit două subșiruri ale aceluiași șir:
\[ (a_{2n}) \qquad\text{și}\qquad (a_{2n+1}), \]
astfel încât
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{și}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Cele două limite sunt diferite, deoarece
\[ 1\ne -1. \]
Așadar, șirul \((a_n)\) nu poate converge.
Motivul conceptual este decisiv: un șir convergent trebuie să se apropie de o unică valoare finală. Aici, în schimb, de-a lungul indicilor pari șirul rămâne mereu egal cu \(1\), în timp ce de-a lungul indicilor impari rămâne mereu egal cu \(-1\).
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Considerăm șirul
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Folosind subșirurile, să se demonstreze că \((a_n)\) nu converge.
Rezultat
Șirul \((a_n)\) nu converge, deoarece
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{și}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
Cele două subșiruri converg către limite diferite.
Rezolvare
Studiem separat șirul de-a lungul indicilor pari și de-a lungul indicilor impari.
Considerăm mai întâi indicii pari. Înlocuind \(n\) cu \(2n\), obținem
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}. \]
Deoarece
\[ (-1)^{2n}=1, \]
avem
\[ a_{2n}=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1. \]
Așadar, subșirul indicilor pari este constant, egal cu \(1\). Prin urmare,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Considerăm acum indicii impari. Înlocuind \(n\) cu \(2n+1\), obținem
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}. \]
Deoarece
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
avem
\[ a_{2n+1}=\frac{1-1}{2}=\frac{0}{2}=0. \]
Așadar, subșirul indicilor impari este constant, egal cu \(0\). Prin urmare,
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Am găsit două subșiruri convergente:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{și}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
Deoarece
\[ 1\ne 0, \]
cele două subșiruri converg către limite diferite.
Așadar, șirul \((a_n)\) nu converge.
Conceptual, șirul alternează continuu valorile \(1\) și \(0\). Nu se stabilizează în jurul unui unic număr real, iar acest lucru împiedică convergența.
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Să se studieze subșirurile indicilor pari și impari și să se deducă dacă \((a_n)\) converge.
Rezultat
Avem
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{și}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Deoarece cele două subșiruri converg către limite diferite, șirul \((a_n)\) nu converge.
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
El conține două părți: termenul oscilant \((-1)^n\), care alternează \(1\) și \(-1\), și termenul \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), care tinde la \(0\).
Studiem mai întâi subșirul indicilor pari. Înlocuind \(n\) cu \(2n\), obținem
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}+\frac{1}{2n+1}. \]
Deoarece
\[ (-1)^{2n}=1, \]
rezultă că
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}. \]
Acum
\[ \frac{1}{2n+1}\to 0. \]
Așadar
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}\to 1+0=1. \]
Prin urmare,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Studiem acum subșirul indicilor impari. Înlocuind \(n\) cu \(2n+1\), obținem
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}+\frac{1}{2n+2}. \]
Deoarece
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
rezultă că
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}. \]
Acum
\[ \frac{1}{2n+2}\to 0. \]
Așadar
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}\to -1+0=-1. \]
Prin urmare,
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Am găsit două subșiruri ale aceluiași șir:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{și}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Deoarece limitele sunt diferite, șirul \((a_n)\) nu converge.
Acest exemplu este important deoarece arată că un termen infinitezimal, precum \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), nu este suficient pentru a elimina oscilația principală produsă de \((-1)^n\). Șirul continuă să se apropie de două valori diferite de-a lungul a două subșiruri diferite.
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Considerăm șirul
\[ a_n=n. \]
Să se demonstreze că subșirul \((a_{n^2+1})\) diverge la \(+\infty\).
Rezultat
Avem
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Așadar
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Rezolvare
Șirul inițial este
\[ a_n=n. \]
Subșirul \((a_{n^2+1})\) se obține alegând indicii
\[ k_n=n^2+1. \]
Înainte de a-i studia limita, verificăm că acești indici definesc într-adevăr un subșir.
Pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), avem \(n^2+1\in\mathbb{N}\). În plus,
\[ k_{n+1}-k_n=((n+1)^2+1)-(n^2+1). \]
Dezvoltând,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1+1-n^2-1=2n+1. \]
Deoarece
\[ 2n+1>0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), rezultă că
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Așadar, \((k_n)\) este un șir strict crescător de indici naturali.
Calculăm acum subșirul. Deoarece \(a_n=n\), înlocuind \(n\) cu \(n^2+1\) obținem
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Trebuie să demonstrăm că
\[ n^2+1\to+\infty. \]
Folosim definiția divergenței la \(+\infty\). Trebuie să demonstrăm că, pentru orice \(M\in\mathbb{R}\), există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\),
\[ n^2+1>M. \]
Dacă \(M<0\), atunci pentru orice \(n\in\mathbb{N}\) avem
\[ n^2+1\ge 1>0>M. \]
Așadar, în acest caz inegalitatea este verificată pentru toți indicii.
Presupunem acum \(M\ge 0\). Alegem \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ N>\sqrt{M}. \]
Atunci, pentru orice \(n\ge N\), avem
\[ n\ge N>\sqrt{M}. \]
Ridicând la pătrat, obținem
\[ n^2>M. \]
În consecință,
\[ n^2+1>M. \]
Am demonstrat așadar că, pentru orice \(M\in\mathbb{R}\), termenii subșirului devin, de la un rang încolo, mai mari decât \(M\).
Prin urmare,
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Conceptual, șirul inițial \(a_n=n\) diverge la \(+\infty\). Un subșir poate sări peste unii termeni, dar nu poate împiedica indicii să tindă la infinit; așadar și subșirul diverge la \(+\infty\).
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Considerăm șirul
\[ a_n=-n^2. \]
Să se demonstreze că subșirul \((a_{2n+1})\) diverge la \(-\infty\).
Rezultat
Avem
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
Așadar
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Rezolvare
Șirul inițial este
\[ a_n=-n^2. \]
Subșirul \((a_{2n+1})\) se obține alegând indicii impari:
\[ k_n=2n+1. \]
Indicii \(2n+1\) sunt naturali și strict crescători. Într-adevăr,
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3, \]
și deci
\[ k_n=2n+1<2n+3=k_{n+1}. \]
Așadar, \((a_{2n+1})\) este într-adevăr un subșir al lui \((a_n)\).
Îl calculăm acum explicit. Înlocuind \(n\) cu \(2n+1\) în formula \(a_n=-n^2\), obținem
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
Dezvoltând pătratul,
\[ (2n+1)^2=4n^2+4n+1. \]
Așadar
\[ a_{2n+1}=-(4n^2+4n+1)=-4n^2-4n-1. \]
Această expresie devine arbitrar de mică pe măsură ce \(n\) crește. Să demonstrăm aceasta folosind definiția divergenței la \(-\infty\).
Trebuie să demonstrăm că, pentru orice \(m\in\mathbb{R}\), există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\),
\[ a_{2n+1}<m. \]
Deoarece
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2, \]
distingem două cazuri.
Dacă \(m>0\), atunci pentru orice \(n\in\mathbb{N}\) avem
\[ -(2n+1)^2<0<m. \]
Așadar, inegalitatea este verificată pentru toți indicii.
Presupunem acum \(m\le 0\). Alegem \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ 2N+1>\sqrt{-m}. \]
Atunci, pentru orice \(n\ge N\),
\[ 2n+1\ge 2N+1>\sqrt{-m}. \]
Ridicând la pătrat, obținem
\[ (2n+1)^2>-m. \]
Înmulțind ambii membri cu \(-1\), sensul inegalității se schimbă:
\[ -(2n+1)^2<m. \]
Adică
\[ a_{2n+1}<m. \]
Am demonstrat așadar că
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Rezultatul este în acord cu teorema generală: deoarece \(a_n=-n^2\to-\infty\), orice subșir al său diverge la \(-\infty\).
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Considerăm șirul
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Folosind două subșiruri, să se demonstreze că \((a_n)\) nu converge.
Rezultat
Șirul \((a_n)\) nu converge, deoarece
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{și}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Rezolvare
Studiem câțiva termeni ai șirului:
\[ a_0=\sin 0=0, \]
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
Se vede astfel că șirul ia ciclic valorile
\[ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\dots. \]
Pentru a demonstra că șirul nu converge, căutăm două subșiruri convergente către limite diferite.
Considerăm indicii
\[ k_n=4n+1. \]
Aceștia sunt strict crescători, deoarece
\[ k_{n+1}=4(n+1)+1=4n+5 \]
și deci
\[ 4n+1<4n+5. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{4n+1} = \sin\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right). \]
Deoarece
\[ \frac{(4n+1)\pi}{2}=2n\pi+\frac{\pi}{2}, \]
obținem
\[ a_{4n+1} = \sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1. \]
Așadar
\[ a_{4n+1}\to 1. \]
Considerăm acum indicii
\[ h_n=4n+3. \]
Și aceștia sunt strict crescători, deoarece
\[ h_{n+1}=4(n+1)+3=4n+7 \]
și deci
\[ 4n+3<4n+7. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{4n+3} = \sin\left(\frac{(4n+3)\pi}{2}\right). \]
Deoarece
\[ \frac{(4n+3)\pi}{2}=2n\pi+\frac{3\pi}{2}, \]
obținem
\[ a_{4n+3} = \sin\left(2n\pi+\frac{3\pi}{2}\right)=-1. \]
Așadar
\[ a_{4n+3}\to -1. \]
Am găsit două subșiruri ale aceluiași șir astfel încât
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{și}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Deoarece
\[ 1\ne -1, \]
șirul \((a_n)\) nu converge.
Conceptual, șirul nu se apropie de o unică valoare finală: ci continuă să repete ciclic valori diferite.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Să se studieze subșirurile indicilor pari și impari și să se deducă comportamentul șirului.
Rezultat
Avem
\[ a_{2n}=2n\to+\infty \]
și
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)\to-\infty. \]
Așadar, șirul nu are limită, nici finită, nici infinită.
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Factorul \((-1)^n\) își schimbă semnul în funcție de paritatea lui \(n\), în timp ce factorul \(n\) crește nelimitat.
Studiem mai întâi indicii pari:
\[ k_n=2n. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}\cdot 2n. \]
Deoarece
\[ (-1)^{2n}=1, \]
obținem
\[ a_{2n}=2n. \]
Așadar
\[ a_{2n}\to+\infty. \]
Studiem acum indicii impari:
\[ h_n=2n+1. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}(2n+1). \]
Deoarece
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
obținem
\[ a_{2n+1}=-(2n+1). \]
Așadar
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
În acest punct, putem deduce comportamentul șirului inițial.
Șirul \((a_n)\) nu converge către o limită reală, deoarece posedă un subșir care diverge la \(+\infty\) și un subșir care diverge la \(-\infty\).
În plus, \((a_n)\) nu diverge la \(+\infty\). Într-adevăr, dacă \(a_n\to+\infty\), atunci orice subșir al său ar trebui să diveargă la \(+\infty\). Dar subșirul \((a_{2n+1})\) diverge la \(-\infty\).
Analog, \((a_n)\) nu diverge la \(-\infty\). Într-adevăr, dacă \(a_n\to-\infty\), atunci orice subșir al său ar trebui să diveargă la \(-\infty\). Dar subșirul \((a_{2n})\) diverge la \(+\infty\).
Prin urmare, șirul \((a_n)\) nu are limită, nici finită, nici infinită.
Punctul conceptual este că termenii nu doar oscilează ca semn, ci se îndepărtează tot mai mult: cei de indice par cresc către \(+\infty\), în timp ce cei de indice impar coboară către \(-\infty\).
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Fie \((a_n)\) un șir real convergent către un număr real \(\ell\). Fie \((a_{k_n})\) un subșir al său. Să se demonstreze direct, folosind definiția limitei, că
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Rezultat
Orice subșir al unui șir convergent converge către aceeași limită ca șirul inițial. Așadar
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Rezolvare
Știm că șirul \((a_n)\) converge către \(\ell\). Aceasta înseamnă că
\[ a_n\to \ell. \]
Prin definiția limitei, pentru orice \(\varepsilon>0\) există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice indice \(m\ge N\), avem
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon. \]
Folosim litera \(m\) pentru a desemna un indice oarecare al șirului inițial, ca să nu îl confundăm cu indicele \(n\) al subșirului.
Considerăm acum un subșir oarecare \((a_{k_n})\). Prin definiția subșirului, \((k_n)\) este un șir strict crescător de indici naturali.
Din proprietatea fundamentală a indicilor unui subșir știm că
\[ k_n\ge n \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Luăm acum \(n\ge N\). Atunci, folosind \(k_n\ge n\), obținem
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Așadar, indicele \(k_n\) este suficient de mare pentru a putea aplica definiția limitei șirului inițial.
Într-adevăr, deoarece definiția limitei ne spune că
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon \]
pentru orice \(m\ge N\), putem alege în particular
\[ m=k_n. \]
Deoarece \(k_n\ge N\), obținem
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Am demonstrat așadar că, pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\), avem
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Aceasta este exact definiția convergenței subșirului \((a_{k_n})\) către limita \(\ell\).
Prin urmare,
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Punctul conceptual decisiv este următorul: un subșir poate sări peste unii termeni, dar indicii săi \(k_n\) cresc oricum la infinit. Astfel, când șirul inițial este, de la un rang încolo, aproape de \(\ell\), și subșirul este, de la un rang încolo, aproape de \(\ell\).