În această pagină vom studia subșirurile, adică șirurile obținute prin extragerea anumitor termeni dintr-un șir dat, fără a modifica ordinea în care aceștia apar.
Noțiunea de subșir este fundamentală în studiul șirurilor numerice, întrucât permite analizarea comportării unui șir observând doar o parte dintre termenii săi. În particular, subșirurile sunt deosebit de utile pentru a studia convergența, divergența și oscilațiile unui șir.
Pe tot parcursul articolului vom considera șiruri reale, adică șiruri de forma
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
iar termenii lor îi vom nota cu \(a_n\), când \(n\) parcurge \(\mathbb{N}\).
În tot textul presupunem că \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Cuprins
- Definiția subșirului
- Interpretare intuitivă
- Exemple de subșiruri
- Cum se recunoaște un subșir
- Orice subșir al unui șir convergent converge către aceeași limită
- Subșiruri și neconvergență
- Subșiruri ale șirurilor divergente la infinit
Definiția subșirului
Fie \((a_n)\) un șir real. Un subșir al lui \((a_n)\) este un șir obținut prin alegerea unui șir strict crescător de indici naturali
\[ k_0<k_1<k_2<\dots \]
și prin considerarea termenilor corespunzători din șirul inițial:
\[ a_{k_0},a_{k_1},a_{k_2},\dots \]
În simboluri, un subșir al lui \((a_n)\) se notează adesea prin
\[ (a_{k_n}), \]
unde \((k_n)\) este un șir de numere naturale astfel încât
\[ k_n<k_{n+1} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Condiția \(k_n<k_{n+1}\) este esențială: ea înseamnă că indicii aleși trebuie să crească strict. În acest fel, termenii sunt extrași din șirul de pornire respectându-se ordinea lor naturală.
Definiție echivalentă
Un subșir al lui \((a_n)\) poate fi definit și prin intermediul unei funcții
\[ \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \]
strict crescătoare. În acest caz, subșirul este
\[ (a_{\varphi(n)}). \]
Cele două definiții sunt echivalente: este suficient să punem
\[ k_n=\varphi(n). \]
În ambele cazuri, punctul esențial este că indicii trebuie să crească strict.
Atenție. Un subșir nu este un șir format prin alegerea termenilor la întâmplare. Este necesar ca termenii aleși să respecte ordinea în care apar în șirul de pornire.
De exemplu, dacă luăm în considerare termenii
\[ a_5,a_2,a_8, \]
aceștia nu pot constitui începutul unui subșir, deoarece indicii nu sunt în ordine crescătoare.
În schimb, termenii
\[ a_2,a_5,a_8 \]
pot constitui începutul unui subșir, deoarece indicii \(2,5,8\) sunt strict crescători.
Interpretare intuitivă
Un subșir se obține alegând termeni ai șirului inițial și păstrându-i în aceeași ordine.
De pildă, fiind dat un șir
\[ a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\dots, \]
putem alege numai termenii de indice par:
\[ a_0,a_2,a_4,a_6,\dots \]
Acesta este un subșir al șirului inițial.
Putem, de asemenea, alege numai termenii de indice impar:
\[ a_1,a_3,a_5,a_7,\dots \]
Și acesta este un subșir.
În general, un subșir observă șirul de pornire de-a lungul unui șir crescător de indici.
O proprietate a indicilor unui subșir
Dacă \((k_n)\) este un șir strict crescător de numere naturale, atunci
\[ k_n\ge n \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Demonstrație. Deoarece \(k_0\in\mathbb{N}\), avem
\[ k_0\ge 0. \]
În plus, întrucât \((k_n)\) este strict crescător și ia valori naturale, din \(k_n<k_{n+1}\) rezultă
\[ k_{n+1}\ge k_n+1. \]
Să demonstrăm prin inducție că \(k_n\ge n\) pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Pentru \(n=0\) am observat deja că \(k_0\ge 0\). Să presupunem acum că \(k_n\ge n\). Atunci
\[ k_{n+1}\ge k_n+1\ge n+1. \]
Prin urmare, conform principiului inducției,
\[ k_n\ge n \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Această proprietate arată că indicii unui subșir tind în mod necesar la infinit.
Exemple de subșiruri
Să examinăm câteva exemple fundamentale.
Exemplul 1. Să considerăm șirul
\[ a_n=n. \]
Dacă alegem indicii pari, adică
\[ k_n=2n, \]
obținem subșirul
\[ a_{k_n}=a_{2n}=2n. \]
Așadar
\[ (a_{2n})=(0,2,4,6,\dots). \]
Acesta este un subșir al lui \((a_n)\), deoarece indicii
\[ 0,2,4,6,\dots \]
sunt strict crescători.
Exemplul 2. Să considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n. \]
Dacă alegem indicii pari \(k_n=2n\), obținem
\[ a_{k_n}=a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
Prin urmare, subșirul termenilor de indice par este
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Dacă, în schimb, alegem indicii impari \(k_n=2n+1\), obținem
\[ a_{k_n}=a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
Prin urmare, subșirul termenilor de indice impar este
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Acest exemplu este foarte important: șirul \(((-1)^n)\) nu converge, dar posedă subșiruri convergente.
Exemplul 3. Să considerăm șirul
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Dacă alegem indicii
\[ k_n=n^2, \]
obținem
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Prin urmare, \(\left(\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\right)\) este un subșir al lui \(\left(\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\).
Indicii aleși sunt
\[ 0,1,4,9,16,\dots \]
și formează un șir strict crescător. Într-adevăr,
\[ 0<1<4<9<16<\dots. \]
Prin urmare, șirul \((a_{n^2})\) este într-adevăr un subșir al lui \((a_n)\).
Cum se recunoaște un subșir
Pentru a stabili dacă un șir \((b_n)\) este un subșir al unui șir \((a_n)\), trebuie să verificăm dacă există un șir strict crescător de indici naturali \((k_n)\) astfel încât
\[ b_n=a_{k_n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Exemplu. Să considerăm șirul
\[ a_n=n^2. \]
Șirul
\[ b_n=(n+1)^2 \]
este un subșir al lui \((a_n)\). Într-adevăr, este suficient să alegem
\[ k_n=n+1. \]
Atunci
\[ a_{k_n}=a_{n+1}=(n+1)^2=b_n. \]
Deoarece \(k_n=n+1\) este strict crescător, \((b_n)\) este un subșir al lui \((a_n)\).
Contraexemplu. Să considerăm din nou șirul
\[ a_n=n. \]
Șirul
\[ b_n=-n \]
nu este un subșir al lui \((a_n)\), deoarece toți termenii lui \((a_n)\) sunt numere naturale, în timp ce \(b_n\) ia valori negative pentru \(n\ge 1\).
Prin urmare, nu poate exista niciun șir de indici naturali \((k_n)\) astfel încât
\[ b_n=a_{k_n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Atenție. Nu este suficient ca termenii lui \((b_n)\) să aparțină mulțimii valorilor luate de \((a_n)\). Este necesar, totodată, ca aceștia să apară în ordinea corectă și să poată fi asociați unui șir strict crescător de indici.
De exemplu, să considerăm
\[ a_n=(-1)^n. \]
Șirul constant \(b_n=1\) este un subșir al lui \((a_n)\), întrucât se obține alegând indicii pari.
În schimb, șirul
\[ 1,-1,1,-1,\dots \]
este chiar șirul însuși, adică subșirul trivial obținut alegând \(k_n=n\).
Orice subșir al unui șir convergent converge către aceeași limită
Cel mai important rezultat referitor la subșiruri este următorul.
Teoremă. Dacă un șir real \((a_n)\) converge către un număr real \(\ell\), atunci orice subșir \((a_{k_n})\) al său converge către aceeași limită \(\ell\).
Demonstrație. Să presupunem că
\[ a_n\to \ell. \]
Fie \((a_{k_n})\) un subșir al lui \((a_n)\), cu \((k_n)\) strict crescător.
Prin definiția limitei, pentru orice \(\varepsilon>0\) există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Deoarece \((k_n)\) este un șir strict crescător de numere naturale, avem
\[ k_n\ge n \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Așadar, dacă \(n\ge N\), atunci
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Aplicând definiția limitei indicelui \(k_n\), obținem
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Aceasta are loc pentru orice \(n\ge N\). Prin urmare
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Am demonstrat astfel că orice subșir al unui șir convergent converge către aceeași limită ca șirul inițial.
Consecință
Dacă un șir posedă două subșiruri convergente către limite diferite, atunci șirul de pornire nu converge.
Demonstrație. Să presupunem, prin reducere la absurd, că \((a_n)\) converge către un număr real \(\ell\).
Atunci, conform teoremei tocmai demonstrate, orice subșir al lui \((a_n)\) ar trebui să conveargă către \(\ell\).
Însă, dacă există două subșiruri care converg către două limite diferite, ajungem la o contradicție.
Prin urmare, șirul \((a_n)\) nu poate converge.
Subșiruri și neconvergență
Subșirurile oferă o metodă foarte eficace pentru a demonstra că un șir nu converge.
Ideea este simplă: dacă reușim să găsim două subșiruri ale aceluiași șir care converg către limite diferite, atunci șirul inițial nu poate avea limită.
Un exemplu fundamental
Să considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n. \]
Subșirul indicilor pari este
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
Prin urmare
\[ a_{2n}\to 1. \]
Subșirul indicilor impari este
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
Prin urmare
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Am găsit două subșiruri ale aceluiași șir care converg către două limite diferite:
\[ 1\ne -1. \]
Prin urmare, șirul \(((-1)^n)\) nu converge.
Alt exemplu
Să considerăm șirul
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Pentru indicii pari avem
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}=\frac{1+1}{2}=1. \]
Pentru indicii impari avem
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}=\frac{1-1}{2}=0. \]
Prin urmare
\[ a_{2n}\to 1 \]
în timp ce
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Deoarece cele două subșiruri converg către limite diferite, șirul \((a_n)\) nu converge.
Atenție. Găsirea unui subșir convergent nu este suficientă pentru a concluziona că șirul de pornire converge.
De exemplu, șirul \(((-1)^n)\) posedă subșirul constant
\[ a_{2n}=1, \]
care converge către \(1\). Cu toate acestea, șirul \(((-1)^n)\) nu converge.
Pentru a demonstra convergența șirului inițial nu este suficient să verificăm un singur subșir: trebuie să controlăm comportarea tuturor termenilor, eventual prin intermediul unor criterii adecvate.
Subșiruri ale șirurilor divergente la infinit
Și pentru șirurile divergente la infinit există o legătură importantă cu subșirurile.
Teoremă. Dacă \(a_n\to+\infty\), atunci orice subșir \((a_{k_n})\) diverge către \(+\infty\).
Demonstrație. Să presupunem că \(a_n\to+\infty\).
Prin definiție, pentru orice \(M\in\mathbb{R}\) există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\),
\[ a_n>M. \]
Fie \((a_{k_n})\) un subșir al lui \((a_n)\). Deoarece \(k_n\ge n\), dacă \(n\ge N\), atunci
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Prin urmare
\[ a_{k_n}>M. \]
Aceasta are loc pentru orice \(n\ge N\). Prin urmare
\[ a_{k_n}\to +\infty. \]
Cazul \(a_n\to -\infty\)
În mod analog, dacă
\[ a_n\to -\infty, \]
atunci orice subșir \((a_{k_n})\) diverge către \(-\infty\).
Într-adevăr, pentru orice \(m\in\mathbb{R}\), din \(a_n\to -\infty\) rezultă că există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\),
\[ a_n<m. \]
Dacă \(n\ge N\), atunci \(k_n\ge n\ge N\), și prin urmare
\[ a_{k_n}<m. \]
Prin urmare
\[ a_{k_n}\to -\infty. \]
Concluzie
Subșirurile reprezintă un instrument fundamental pentru studierea comportării asimptotice a unui șir, deoarece permit izolarea unor părți semnificative ale șirului fără a modifica ordinea termenilor.
Pe scurt, un subșir al lui \((a_n)\) este un șir de forma
\[ (a_{k_n}), \]
unde \((k_n)\) este un șir strict crescător de numere naturale.
Dacă un șir converge către o limită reală \(\ell\), atunci orice subșir al său converge către aceeași limită \(\ell\). În consecință, dacă un șir posedă două subșiruri convergente către limite diferite, atunci șirul nu converge.
Pe de altă parte, existența unui subșir convergent nu implică faptul că șirul de pornire converge, după cum arată exemplul șirului \(((-1)^n)\).
Subșirurile sunt, prin urmare, fundamentale atât pentru a recunoaște comportarea locală a unui șir, cât și pentru a demonstra în mod riguros lipsa convergenței.