Teorema lui Bolzano-Weierstrass afirmă că orice șir real mărginit conține cel puțin un subșir convergent.
Această teoremă exprimă o proprietate profundă a dreptei reale: un șir care rămâne cuprins într-un interval închis și mărginit nu se poate împrăștia în întregime. Chiar dacă șirul nu converge, se poate întotdeauna extrage din el un subșir care converge.
Cuprins
- Enunțul teoremei lui Bolzano-Weierstrass
- Semnificația teoremei
- Demonstrație prin intervale incluse
- De ce este necesară ipoteza de mărginire
- Exemple de aplicare
- Legătura cu punctele de acumulare
Enunțul teoremei lui Bolzano-Weierstrass
Considerăm un șir real
\[ (x_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Reamintim că un șir se numește mărginit dacă există două numere reale \(a\) și \(b\), cu \(a\leq b\), astfel încât
\[ a\leq x_n\leq b \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\). Cu alte cuvinte, toți termenii șirului sunt cuprinși în același interval închis și mărginit \([a,b]\).
Teorema lui Bolzano-Weierstrass. Orice șir real mărginit admite un subșir convergent.
În mod echivalent, dacă \((x_n)\) este un șir real mărginit, atunci există un șir strict crescător de indici
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots \]
și un număr real \(x_0\) astfel încât
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Șirul \((x_{n_k})\) se numește subșir al lui \((x_n)\).
Semnificația teoremei
Teorema nu afirmă că orice șir mărginit este convergent; acest lucru ar fi fals. Să luăm, de pildă, șirul
\[ x_n=(-1)^n, \]
care este mărginit, dar nu converge, deoarece oscilează necontenit între \(1\) și \(-1\).
Cu toate acestea, el conține subșiruri convergente. Într-adevăr, luând indicii pari, se obține
\[ x_{2k}=1 \]
pentru orice \(k\), prin urmare
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
Luând, dimpotrivă, indicii impari, se obține
\[ x_{2k-1}=-1 \]
pentru orice \(k\), prin urmare
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Tocmai acest lucru îl afirmă teorema lui Bolzano-Weierstrass: chiar și atunci când un șir mărginit nu converge în ansamblul său, în interiorul lui există întotdeauna un subșir care converge.
Demonstrație prin intervale incluse
Demonstrăm teorema folosind teorema intervalelor incluse.
Fie \((x_n)\) un șir real mărginit. Atunci există \(a,b\in\mathbb R\), cu \(a\leq b\), astfel încât
\[ x_n\in[a,b] \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\).
Punem
\[ I_1=[a,b]. \]
Intervalul \(I_1\) conține toți termenii șirului, deci conține cu siguranță o infinitate de termeni ai acestuia.
Împărțim \(I_1\) în două intervale închise de aceeași lungime:
\[ \left[a,\frac{a+b}{2}\right], \qquad \left[\frac{a+b}{2},b\right]. \]
Deoarece \(I_1\) conține o infinitate de termeni ai șirului, cel puțin unul dintre cele două subintervale conține, la rândul său, o infinitate de termeni. Alegem unul dintre aceste subintervale și îl notăm \(I_2\).
Repetăm același procedeu. Să presupunem că am construit un interval închis \(I_k\) care conține o infinitate de termeni ai șirului. Împărțim \(I_k\) în două intervale închise de aceeași lungime. Cel puțin unul dintre ele conține o infinitate de termeni; îl alegem și îl notăm \(I_{k+1}\).
În acest mod obținem un șir de intervale închise și mărginite
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots \]
astfel încât fiecare \(I_k\) conține o infinitate de termeni ai șirului \((x_n)\).
În plus, la fiecare pas lungimea intervalului se înjumătățește. Dacă \(I_1=[a,b]\), atunci lungimea lui \(I_k\) este
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Deoarece
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow 0, \]
conform teoremei intervalelor incluse există un unic punct \(x_0\in\mathbb R\) astfel încât
\[ \bigcap_{k=1}^{+\infty} I_k=\{x_0\}. \]
Rămâne să construim un subșir al lui \((x_n)\) care să conveargă către \(x_0\).
Pentru a construi acest subșir, procedăm prin inducție după intervalele \(I_k\).
Deoarece \(I_1\) conține o infinitate de termeni ai șirului, alegem un indice \(n_1\) astfel încât
\[ x_{n_1}\in I_1. \]
Deoarece \(I_2\) conține o infinitate de termeni, putem alege un indice \(n_2\) mai mare decât \(n_1\) astfel încât
\[ x_{n_2}\in I_2. \]
În general, să presupunem că am ales indicii
\[ n_1\lt n_2\lt\cdots\lt n_k \]
astfel încât
\[ x_{n_j}\in I_j \qquad \text{pentru orice } j=1,\ldots,k. \]
Deoarece \(I_{k+1}\) conține o infinitate de termeni, putem alege un indice \(n_{k+1}\gt n_k\) astfel încât
\[ x_{n_{k+1}}\in I_{k+1}. \]
Obținem astfel un subșir
\[ (x_{n_k})_{k\in\mathbb N} \]
cu proprietatea că
\[ x_{n_k}\in I_k \qquad \forall k\in\mathbb N. \]
Să arătăm acum că acest subșir converge către \(x_0\).
Deoarece \(x_0\) aparține tuturor intervalelor \(I_k\), iar \(x_{n_k}\in I_k\) la rândul său, distanța dintre \(x_{n_k}\) și \(x_0\) este cel mult egală cu lungimea lui \(I_k\). Așadar,
\[ |x_{n_k}-x_0|\leq \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Deoarece
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow0, \]
din teorema cleștelui rezultă că
\[ |x_{n_k}-x_0|\longrightarrow0. \]
Prin urmare,
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Am construit astfel un subșir convergent al șirului inițial, ceea ce încheie demonstrația teoremei lui Bolzano-Weierstrass.
De ce este necesară ipoteza de mărginire
Ipoteza de mărginire este esențială. Dacă un șir nu este mărginit, nu este sigur că el admite vreun subșir convergent.
Să considerăm, de pildă, șirul
\[ x_n=n. \]
Acesta nu este mărginit superior. Mai mult, fiecare dintre subșirurile sale este de forma
\[ x_{n_k}=n_k, \]
unde
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots. \]
Deoarece indicii \(n_k\) tind către \(+\infty\), avem
\[ x_{n_k}=n_k\longrightarrow+\infty. \]
Niciun subșir nu poate, prin urmare, să conveargă către un număr real.
Acest exemplu arată că mărginirea nu este o condiție accesorie: este tocmai ceea ce împiedică termenii șirului să scape spre infinit.
Exemple de aplicare
Exemplul 1. Să considerăm șirul
\[ x_n=(-1)^n. \]
Șirul este mărginit, întrucât
\[ -1\leq x_n\leq1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\). Conform teoremei lui Bolzano-Weierstrass, el admite cel puțin un subșir convergent.
Într-adevăr, termenii de indice par dau
\[ x_{2k}=1 \]
pentru orice \(k\in\mathbb N\), astfel încât
\[ x_{2k}\longrightarrow1, \]
în timp ce cei de indice impar dau
\[ x_{2k-1}=-1, \]
prin urmare
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Șirul inițial nu converge, dar posedă două subșiruri convergente naturale.
Exemplul 2. Să considerăm șirul
\[ x_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Este mărginit, deoarece
\[ -1\lt x_n\lt1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\). Conform teoremei lui Bolzano-Weierstrass, trebuie să admită un subșir convergent.
Separăm indicii pari de cei impari. Dacă \(n=2k\), atunci
\[ x_{2k}=\frac{2k}{2k+1}\longrightarrow1. \]
Dacă, dimpotrivă, \(n=2k-1\), atunci
\[ x_{2k-1}=-\frac{2k-1}{2k}\longrightarrow -1. \]
Și în acest caz șirul nu converge, dar conține subșiruri convergente.
Exemplul 3. Să considerăm un șir oarecare \((x_n)\) cuprins în intervalul \([0,1]\).
Nu este necesar să cunoaștem o formulă explicită a șirului. Simplul fapt că
\[ 0\leq x_n\leq1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\) garantează, conform teoremei lui Bolzano-Weierstrass, existența unui subșir convergent.
Acesta este unul dintre cele mai importante aspecte ale teoremei: ea furnizează un rezultat de existență chiar și atunci când nu știm să calculăm explicit un subșir.
Legătura cu punctele de acumulare
Teorema lui Bolzano-Weierstrass poate fi interpretată și în termeni de puncte de acumulare.
Dacă un șir real mărginit ia o infinitate de valori distincte, atunci mulțimea valorilor sale este o submulțime infinită și mărginită a lui \(\mathbb R\). În acest caz, teorema garantează existența a cel puțin un punct de acumulare.
Mai precis, dacă un subșir
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0 \]
iar termenii \(x_{n_k}\) sunt distincți de \(x_0\) pentru o infinitate de indici, atunci \(x_0\) este un punct de acumulare al mulțimii valorilor șirului.
În cazul în care șirul ia doar un număr finit de valori, teorema rămâne totuși adevărată: cel puțin una dintre aceste valori trebuie să fie luată de o infinitate de ori. În acest caz există un subșir constant și, prin urmare, convergent.
Așadar, teorema lui Bolzano-Weierstrass poate fi citită în două moduri complementare:
- orice șir real mărginit posedă un subșir convergent;
- orice mulțime infinită și mărginită de numere reale posedă cel puțin un punct de acumulare.
Această a doua formulare leagă teorema de studiul topologic al dreptei reale și pregătește terenul pentru rezultatele privind compacitatea.