Teorema lui Rolle este un rezultat fundamental din analiza matematică, aplicabil funcțiilor continue și derivabile. Acest teorem afirmă că, dacă o funcție \( f \) este continuă pe un interval închis \([a,b]\), derivabilă pe intervalul deschis \((a,b)\) și ia aceeași valoare la capete, adică \( f(a)=f(b) \), atunci există cel puțin un punct interior \( \xi \in (a,b) \) în care derivata funcției se anulează, adică \( f'(\xi)=0 \). Rezultatul are numeroase aplicații, inclusiv în demonstrarea Teoremei valorii medii.
Cuprins
Teorema lui Rolle
Fie \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) o funcție continuă pe intervalul închis \([a,b]\), derivabilă pe intervalul deschis \((a,b)\) și astfel încât \( f(a)=f(b) \). Atunci există cel puțin un punct \( \xi \in (a,b) \) pentru care:
\[ f'(\xi)=0 \]
Demonstrație. În primul rând, deoarece funcția \( f \) este continuă pe \([a,b]\), prin Teorema lui Weierstrass ea admite un maxim absolut și un minim absolut pe interval. Prin urmare, există puncte \( c,d \in [a,b] \) astfel încât:
\[ f(c)=M \quad \text{și} \quad f(d)=m \]
unde \( M=\max_{x \in [a,b]} f(x) \) și \( m=\min_{x \in [a,b]} f(x) \).
Să considerăm mai întâi cazul în care funcția \( f \) este constantă, adică \( f(x)=k \) pentru orice \( x \in [a,b] \). În acest caz, prin definiția derivatei:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{k-k}{h}=0 \]
pentru orice \( x \in (a,b) \). Prin urmare, concluzia teoremei este imediat verificată.
Să trecem acum la cazul în care \( f \) nu este constantă. Deoarece \( f(a)=f(b) \), maximul și minimul absolute nu pot fi ambele atinse la extremitățile \( a \) și \( b \). Trebuie să existe cel puțin un punct \( \xi \in (a,b) \) în care \( f(\xi)=M \) sau \( f(\xi)=m \). În ambele situații, \( \xi \) reprezintă un punct de maxim local sau de minim local.
Fie \( \xi \) un punct de maxim local. Pentru \( h \) suficient de mic:
\[ f(\xi+h)\leq f(\xi) \]
Putem atunci considera rapoartele incrementale:
\[ \frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\leq 0 \quad \text{dacă} \ h>0 \]
\[ \frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\geq 0 \quad \text{dacă} \ h<0 \]
Deoarece \( f \) este derivabilă în \( \xi \), există limita raportului incremental, adică:
\[ f'(\xi)=\lim_{h \to 0} \frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h} \]
Din cele de mai sus rezultă:
\[ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\leq 0 \leq \lim_{h \to 0^-} \frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h} \]
Prin urmare, în mod necesar:
\[ f'(\xi)=0 \]
Un raționament analog se aplică și în cazul în care \( \xi \) este un punct de minim local.
Am demonstrat astfel că există cel puțin un punct \( \xi \in (a,b) \) astfel încât \( f'(\xi)=0 \), completând demonstrația Teoremei lui Rolle.