Teorema păstrării semnului pentru șiruri este un rezultat fundamental privind limitele șirurilor de numere reale. Ea spune că, dacă un șir converge către o limită reală nenulă, atunci termenii săi au, de la un anumit rang încolo, același semn ca limita.
Cu alte cuvinte, dacă un șir \((a_n)\) tinde către un număr pozitiv, atunci, de la un anumit rang încolo, toți termenii săi sunt pozitivi. Dacă, dimpotrivă, tinde către un număr negativ, atunci, de la un anumit rang încolo, toți termenii săi sunt negativi.
Expresia de la un anumit rang încolo este esențială: teorema nu afirmă că toți termenii șirului au același semn ca limita, ci doar că această proprietate este valabilă pentru toate rangurile suficient de mari.
În general, a spune că o proprietate este valabilă de la un anumit rang încolo pentru un șir înseamnă că există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât proprietatea este valabilă pentru orice \(n\geq N\).
Cazul \(L=0\) trebuie exclus. Într-adevăr, dacă limita este nulă, teorema nu permite să se tragă nicio concluzie privind semnul termenilor șirului de la un anumit rang încolo.
Cuprins
- Teorema păstrării semnului pentru șiruri
- Demonstrația teoremei
- Interpretarea teoremei
- De ce este exclus cazul \(L=0\)
- Exemple
Teorema păstrării semnului pentru șiruri
Fie \((a_n)\) un șir de numere reale și fie \(L\in\mathbb{R}\) cu \(L\neq0\). Să presupunem că
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Atunci termenii șirului \((a_n)\) au, de la un anumit rang încolo, același semn ca \(L\).
Mai precis:
- dacă \(L>0\), atunci există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), avem \(a_n>0\);
- dacă \(L<0\), atunci există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), avem \(a_n<0\).
În simboluri, dacă \(L>0\), atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n>0. \]
Dacă, dimpotrivă, \(L<0\), atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n<0. \]
Teorema poate fi rezumată spunând că, atunci când limita este diferită de zero, semnul limitei se păstrează, de la un anumit rang încolo, în termenii șirului.
Condiția \(L\neq0\) este indispensabilă. Dacă limita ar fi egală cu zero, nu ar fi posibil să se aleagă o vecinătate a lui \(0\) conținută în întregime în numerele pozitive sau în întregime în numerele negative.
Demonstrația teoremei
Să presupunem că
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
cu \(L\neq0\). Prin definiția limitei, pentru orice \(\varepsilon>0\) există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), avem
\[ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Deoarece \(L\neq0\), avem \(|L|>0\). Putem, așadar, alege
\[ \varepsilon=\frac{|L|}{2}. \]
Prin definiția limitei, există atunci \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\),
\[ |a_n-L|<\frac{|L|}{2}. \]
Această inegalitate este echivalentă cu
\[ -\frac{|L|}{2}<a_n-L<\frac{|L|}{2}. \]
Adunând \(L\) la fiecare membru al acestei duble inegalități, obținem
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2}. \]
În acest punct, distingem cele două cazuri posibile.
Cazul \(L>0\)
Dacă \(L>0\), atunci \(|L|=L\). Inegalitatea precedentă devine
\[ L-\frac{L}{2}<a_n<L+\frac{L}{2}. \]
Așadar, pentru orice \(n\geq N\),
\[ \frac{L}{2}<a_n<\frac{3L}{2}. \]
În particular,
\[ a_n>0 \]
pentru orice \(n\geq N\). Prin urmare, dacă limita \(L\) este pozitivă, atunci termenii șirului sunt pozitivi de la un anumit rang încolo.
Observăm, în plus, că am obținut o estimare mai puternică: de la un anumit rang încolo, nu numai că \(a_n>0\), ci chiar \(a_n>\frac{L}{2}\).
Cazul \(L<0\)
Dacă \(L<0\), atunci \(|L|=-L\). Inegalitatea
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2} \]
devine
\[ L-\frac{-L}{2}<a_n<L+\frac{-L}{2}. \]
Adică,
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2}. \]
Deoarece \(L<0\), avem
\[ \frac{3L}{2}<\frac{L}{2}<0. \]
Din inegalitatea
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2} \]
rezultă, în particular, că
\[ a_n<0 \]
pentru orice \(n\geq N\).
Prin urmare, dacă limita \(L\) este negativă, atunci termenii șirului sunt negativi de la un anumit rang încolo.
În ambele cazuri am demonstrat că, dacă un șir de numere reale converge către o limită nenulă, atunci termenii săi au, de la un anumit rang încolo, același semn ca limita.
Interpretarea teoremei
Teorema păstrării semnului nu privește neapărat toți termenii șirului, ci doar termenii de la un anumit rang încolo.
A spune că \(a_n>0\) de la un anumit rang încolo înseamnă că există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ a_n>0 \]
pentru orice \(n\geq N\). Termenii de rang mai mic decât \(N\) pot avea, în schimb, orice semn.
De exemplu, un șir poate avea câțiva termeni inițiali negativi și apoi să devină pozitiv de la un anumit rang încolo. Dacă limita sa este pozitivă, teorema garantează că, de la un anumit punct încolo, termenii nu mai pot fi negativi sau nuli.
În același mod, dacă limita este negativă, de la un anumit rang încolo toți termenii trebuie să fie negativi.
Ideea geometrică este simplă: dacă \(L>0\), se poate alege o vecinătate a lui \(L\) conținută în întregime în numerele pozitive. Deoarece \(a_n\to L\), de la un anumit rang încolo toți termenii \(a_n\) aparțin acelei vecinătăți și sunt, prin urmare, pozitivi.
Dacă, dimpotrivă, \(L<0\), se poate alege o vecinătate a lui \(L\) conținută în întregime în numerele negative. De la un anumit rang încolo, toți termenii șirului aparțin acelei vecinătăți și sunt, prin urmare, negativi.
De ce este exclus cazul \(L=0\)
Condiția \(L\neq0\) este esențială. Dacă un șir converge către \(0\), teorema păstrării semnului nu permite să se stabilească semnul termenilor săi de la un anumit rang încolo.
Într-adevăr, în jurul lui \(0\) nu există niciun interval deschis conținut în întregime în numerele pozitive sau în întregime în numerele negative. Orice interval deschis centrat în \(0\) conține atât numere pozitive, cât și numere negative.
Din acest motiv, dacă
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=0, \]
nu se poate trage concluzia, în general, că \(a_n\) este, de la un anumit rang încolo, pozitiv sau negativ.
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge către \(0\) și este pozitiv pentru orice \(n\geq 1\). În schimb, șirul
\[ b_n=-\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge și el către \(0\) și este negativ pentru orice \(n\geq 1\).
În plus, șirul
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge către \(0\), dar își schimbă semnul de o infinitate de ori. Așadar, în cazul unei limite nule, sunt posibile comportamente diferite.
Exemple
Exemplul 1. Să considerăm șirul
\[ a_n=\frac{3}{n}-2. \]
Deoarece
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{n}-2\right)=-2, \]
iar limita este negativă, teorema păstrării semnului garantează că termenii \(a_n\) sunt negativi de la un anumit rang încolo.
Să verificăm direct. Vrem să determinăm un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), să avem
\[ \frac{3}{n}-2<0. \]
Rezolvând inegalitatea,
\[ \frac{3}{n}<2. \]
Deoarece \(n>0\), putem înmulți cu \(n\) fără a schimba sensul inegalității:
\[ 3<2n. \]
Așadar
\[ n>\frac{3}{2}. \]
Prin urmare, pentru orice \(n\geq2\), avem
\[ a_n<0. \]
Șirul este, așadar, negativ de la un anumit rang încolo, în acord cu teorema.
Exemplul 2. Să considerăm șirul
\[ a_n=\frac{5}{n}+1. \]
Deoarece
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{5}{n}+1\right)=1, \]
iar limita este pozitivă, teorema păstrării semnului garantează că termenii \(a_n\) sunt pozitivi de la un anumit rang încolo.
În realitate, în acest caz șirul este pozitiv pentru orice \(n\geq 1\), deoarece
\[ \frac{5}{n}>0 \]
pentru orice \(n\geq 1\), și prin urmare
\[ \frac{5}{n}+1>0. \]
Acest lucru este în concordanță cu teorema: dacă o proprietate este valabilă pentru orice rang, atunci ea este, cu siguranță, valabilă și de la un anumit rang încolo.
Exemplul 3. Să considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}. \]
Acest șir nu converge. Într-adevăr, termenul \((-1)^n\) oscilează între \(-1\) și \(1\), în timp ce \(\displaystyle \frac{1}{n}\to0\). Mai precis, subșirul format din termenii de rang par tinde către \(1\), în timp ce subșirul format din termenii de rang impar tinde către \(-1\).
În consecință, nu putem aplica teorema păstrării semnului.
Acest exemplu arată că teorema cere într-adevăr existența unei limite reale nenule. Dacă șirul nu are limită, teorema nu oferă nicio informație privind semnul termenilor săi de la un anumit rang încolo.
Exemplul 4. Să considerăm șirul
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Avem
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Totuși, termenii șirului își schimbă semnul de o infinitate de ori: sunt pozitivi pentru ranguri pare și negativi pentru ranguri impare.
Teorema păstrării semnului nu este aplicabilă, deoarece limita este egală cu \(0\). Acest exemplu arată de ce ipoteza \(L\neq0\) este indispensabilă.
O versiune analogă este valabilă și pentru limitele infinite: dacă \(a_n\to+\infty\), atunci \(a_n>0\) de la un anumit rang încolo; dacă \(a_n\to-\infty\), atunci \(a_n<0\) de la un anumit rang încolo.
În concluzie, teorema păstrării semnului pentru șiruri afirmă că semnul unei limite reale nenule se păstrează, de la un anumit rang încolo, în termenii șirului. Termenii inițiali pot avea un comportament diferit, dar de la un anumit rang încolo semnul trebuie să coincidă cu cel al limitei.