Teorema Stolz-Cesàro oferă un instrument fundamental pentru calculul limitelor unor rapoarte de șiruri. Este deosebit de utilă atunci când numitorul tinde la \(+\infty\), iar calculul direct al limitei se dovedește dificil sau conduce la o formă nedeterminată.
Acest rezultat poate fi privit ca o generalizare a teoremei lui Cesàro privind mediile aritmetice și este folosit pe scară largă în studiul convergenței șirurilor.
Pe tot parcursul textului presupunem că \( \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} \).
Cuprins
Teorema Stolz-Cesàro. Fie \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) și \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) două șiruri de numere reale. Presupunem că:
- \( b_n > 0 \) pentru orice \( n \) suficient de mare;
- \( b_{n+1} > b_n \) pentru orice \( n \) suficient de mare;
- \[ \lim_{n \to \infty} b_n = +\infty. \]
Dacă există limita
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \in \mathbb{R}, \]
atunci există și limita
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Există de asemenea variante ale teoremei Stolz-Cesàro pentru cazul în care limita raportului diferențelor consecutive este \(+\infty\) sau \(-\infty\), precum și versiuni adaptate unor forme nedeterminate de tipul \(\displaystyle \frac{0}{0}\). În acest text ne concentrăm asupra formei celei mai utilizate, și anume cea referitoare la forma nedeterminată \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) cu limită reală finită.
Demonstrație. Presupunem că
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L. \]
Vrem să demonstrăm că
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Prin definiția limitei, pentru orice \( \varepsilon > 0 \) există \( n_\varepsilon \in \mathbb{N} \), ales suficient de mare încât să asigure și \( b_n > 0 \) și \( b_{n+1} > b_n \) pentru orice \( n \ge n_\varepsilon \), astfel încât
\[ \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon, \qquad \forall n \ge n_\varepsilon. \]
În mod echivalent,
\[ L - \varepsilon < \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} < L + \varepsilon. \]
Deoarece \( b_{n+1} - b_n > 0 \) pentru orice \( n \ge n_\varepsilon \), putem înmulți toți membrii inegalității, obținând:
\[ (L - \varepsilon) (b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < (L + \varepsilon) (b_{n+1} - b_n). \]
Însumăm membru cu membru de la \( k = n_\varepsilon \) până la \( k = n - 1 \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k). \]
Sumele sunt telescopice. Într-adevăr:
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon}, \]
și, în mod analog,
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon}. \]
Prin urmare:
\[ (L - \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < (L + \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}). \]
Împărțind la \( b_n > 0 \), obținem:
\[ (L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < (L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n}. \]
Deoarece
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \]
trecând la limita inferioară și la limita superioară în inegalitatea precedentă, obținem:
\[ L - \varepsilon \le \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le L + \varepsilon. \]
Deoarece \( \varepsilon > 0 \) este arbitrar, rezultă că
\[ \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Așadar:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Aceasta încheie demonstrația teoremei Stolz-Cesàro.
Corolar I. Dacă
\[ \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L, \]
atunci
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Demonstrație. Este suficient să aplicăm teorema Stolz-Cesàro șirului \( b_n = n \). Raportul \(a_n/n\) se consideră în mod natural pentru \(n\ge 1\). Într-adevăr:
\[ b_{n+1} - b_n = 1, \]
deci
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L. \]
Prin urmare:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Corolar II (Teorema lui Cesàro). Fie \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) un șir convergent către \( L \). Pentru orice \(n\ge 1\), definim:
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k. \]
Atunci:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L. \]
Demonstrație. Notăm
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k, \qquad b_n = n. \]
Atunci:
\[ \alpha_n = \frac{c_n}{b_n}. \]
În plus:
\[ \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \frac{a_n}{1} = a_n. \]
Deoarece \( a_n \to L \), teorema Stolz-Cesàro implică:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L. \]
Corolar III. Fie \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) un șir astfel încât:
- \( a_n > 0 \) pentru orice \( n \);
- \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L > 0. \]
Atunci:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Demonstrație. Definim:
\[ u_n = \log a_n. \]
Deoarece \( a_n \to L > 0 \), avem:
\[ u_n = \log a_n \longrightarrow \log L. \]
Considerăm mediile aritmetice:
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} u_k, \qquad n\ge 1. \]
Folosind definiția lui \( u_k \), obținem:
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \left( \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} \right). \]
Conform Corolarului II:
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \log L. \]
Aplicând funcția exponențială:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Corolar IV. Fie \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) un șir de numere reale strict pozitive.
Dacă
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L > 0, \]
atunci:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Demonstrație. Definim, pentru orice \( n \ge 1 \),
\[ b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}}. \]
Prin ipoteză:
\[ b_n \to L. \]
Aplicând Corolarul III șirului \( \{b_n\}_{n \ge 1} \), sau, echivalent, aceluiași șir reindexat începând de la \(0\), obținem:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = L. \]
Pe de altă parte,
\[ \prod_{k=1}^{n} b_k = \prod_{k=1}^{n} \frac{a_k}{a_{k-1}} = \frac{a_n}{a_0}. \]
Așadar:
\[ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = \sqrt[n]{\frac{a_n}{a_0}} = \frac{\sqrt[n]{a_n}}{\sqrt[n]{a_0}}. \]
Deoarece
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_0} = 1, \]
rezultă că:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Aceasta încheie demonstrația.