Teorema limitei unui șir monoton este unul dintre rezultatele fundamentale privind limitele șirurilor. Aceasta afirmă că orice șir monoton are limită, finită sau infinită.
Mai precis, un șir crescător tinde către marginea sa superioară, posibil egală cu \(+\infty\), în timp ce un șir descrescător tinde către marginea sa inferioară, posibil egală cu \(-\infty\). În particular, orice șir monoton și mărginit este convergent.
Acest rezultat are o mare importanță, deoarece permite stabilirea existenței limitei unui șir fără a fi nevoie să o calculăm explicit. Este suficient să verificăm monotonia și, atunci când se urmărește o limită finită, mărginirea.
Cuprins
- Recapitulare asupra șirurilor monotone
- Teorema limitei unui șir monoton
- Cazul unui șir crescător
- Cazul unui șir descrescător
- Șiruri monotone și mărginite
- Exemple
Recapitulare asupra șirurilor monotone
Presupunem că șirurile sunt indexate după numerele naturale strict pozitive, adică \(n\in\mathbb{N}\) cu \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\).
Un șir real \((a_n)\) se numește crescător dacă
\[ a_n\leq a_{n+1} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). Cu alte cuvinte, fiecare termen este mai mic sau egal cu termenul următor.
Un șir real \((a_n)\) se numește, în schimb, descrescător dacă
\[ a_n\geq a_{n+1} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). În acest caz, fiecare termen este mai mare sau egal cu termenul următor.
În ambele cazuri folosim monotonia în sens slab: un șir crescător poate avea termeni consecutivi egali, iar același lucru este valabil pentru un șir descrescător.
Cu această terminologie, un șir crescător se mai numește nedescrescător, în timp ce un șir descrescător se mai numește necrescător. Atunci când inegalitățile sunt stricte, se vorbește, în schimb, despre șiruri strict crescătoare sau strict descrescătoare.
Un șir se numește monoton dacă este crescător sau descrescător.
Așadar, monotonia descrie comportarea ordonată a termenilor șirului. Singură, însă, ea nu indică dacă limita este finită sau infinită. De exemplu, un șir crescător poate converge către un număr real sau poate diverge către \(+\infty\).
Teorema limitei unui șir monoton
Fie \((a_n)\) un șir real monoton.
Dacă \((a_n)\) este crescător, atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
unde marginea superioară este luată în sens extins și poate fi un număr real sau \(+\infty\).
Dacă \((a_n)\) este descrescător, atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
unde marginea inferioară este luată în sens extins și poate fi un număr real sau \(-\infty\).
Sub formă condensată:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n = \begin{cases} \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{dacă } (a_n) \text{ este crescător},\\[4pt] \inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{dacă } (a_n) \text{ este descrescător}. \end{cases} \]
Aceasta înseamnă că un șir monoton nu poate fi lipsit de limită: limita sa există întotdeauna, posibil ca limită infinită.
Întrucât limita unui șir, atunci când există, este unică, această valoare determină complet comportarea la limită a șirului monoton.
De exemplu, șirul \(a_n=(-1)^n\) nu are limită, dar nu este monoton. Monotonia este, prin urmare, o condiție puternică: ea împiedică orice oscilație persistentă între valori distincte.
Cazul unui șir crescător
Să presupunem că \((a_n)\) este un șir crescător. Distingem două cazuri: șirul poate fi mărginit superior sau nemărginit superior.
Șir crescător și mărginit superior
Să presupunem că \((a_n)\) este crescător și mărginit superior. Atunci mulțimea valorilor sale
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
este nevidă și mărginită superior. Conform proprietății de completitudine a numerelor reale, marginea sa superioară există. Punem
\[ S=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Vrem să demonstrăm că
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Prin definiția marginii superioare, \(S\) este un majorant al mulțimii \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Așadar
\[ a_n\leq S \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
În plus, tot prin definiția marginii superioare, pentru orice \(\varepsilon>0\) numărul \(S-\varepsilon\) nu este un majorant al mulțimii. În consecință, există un indice \(k\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ S-\varepsilon<a_k. \]
Deoarece șirul este crescător, pentru orice \(n\geq k\) avem
\[ a_k\leq a_n. \]
Prin urmare, pentru orice \(n\geq k\),
\[ S-\varepsilon<a_k\leq a_n\leq S. \]
Din acest lanț de inegalități rezultă că
\[ 0\leq S-a_n<\varepsilon. \]
Prin urmare
\[ |a_n-S|<\varepsilon \]
pentru orice \(n\geq k\). Prin definiția limitei,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Așadar, un șir crescător și mărginit superior converge către marginea sa superioară.
Șir crescător nemărginit superior
Să presupunem acum că \((a_n)\) este crescător și nemărginit superior. Vrem să demonstrăm că
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Deoarece șirul nu este mărginit superior, pentru orice \(M>0\) există un indice \(\nu\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ a_\nu>M. \]
Deoarece \((a_n)\) este crescător, pentru orice \(n\geq \nu\) avem
\[ a_n\geq a_\nu>M. \]
Așadar, pentru orice \(M>0\), există \(\nu\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq\nu\),
\[ a_n>M. \]
Prin definiția divergenței către \(+\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Așadar, un șir crescător nemărginit superior diverge către \(+\infty\).
Cazul unui șir descrescător
Să presupunem că \((a_n)\) este un șir descrescător. Și în acest caz distingem două posibilități: șirul poate fi mărginit inferior sau nemărginit inferior.
Șir descrescător și mărginit inferior
Să presupunem că \((a_n)\) este descrescător și mărginit inferior. Atunci mulțimea valorilor sale
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
este nevidă și mărginită inferior. Conform proprietății de completitudine a numerelor reale, marginea sa inferioară există. Punem
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Vrem să demonstrăm că
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Prin definiția marginii inferioare, \(L\) este un minorant al mulțimii \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Așadar
\[ L\leq a_n \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
În plus, prin definiția marginii inferioare, pentru orice \(\varepsilon>0\) numărul \(L+\varepsilon\) nu este un minorant al mulțimii. În consecință, există un indice \(k\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ a_k<L+\varepsilon. \]
Deoarece șirul este descrescător, pentru orice \(n\geq k\) avem
\[ a_n\leq a_k. \]
Prin urmare, pentru orice \(n\geq k\),
\[ L\leq a_n\leq a_k<L+\varepsilon. \]
Din acest lanț de inegalități rezultă că
\[ 0\leq a_n-L<\varepsilon. \]
Prin urmare
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
pentru orice \(n\geq k\). Prin definiția limitei,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Așadar, un șir descrescător și mărginit inferior converge către marginea sa inferioară.
Șir descrescător nemărginit inferior
Să presupunem acum că \((a_n)\) este descrescător și nemărginit inferior. Vrem să demonstrăm că
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Deoarece șirul nu este mărginit inferior, pentru orice \(M>0\) există un indice \(\nu\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ a_\nu<-M. \]
Deoarece \((a_n)\) este descrescător, pentru orice \(n\geq \nu\) avem
\[ a_n\leq a_\nu<-M. \]
Așadar, pentru orice \(M>0\), există \(\nu\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq\nu\),
\[ a_n<-M. \]
Prin definiția divergenței către \(-\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Așadar, un șir descrescător nemărginit inferior diverge către \(-\infty\).
Șiruri monotone și mărginite
Din teorema precedentă decurge un criteriu foarte des folosit.
Dacă un șir este crescător și mărginit superior, atunci el converge, iar limita sa este marginea sa superioară:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Dacă un șir este descrescător și mărginit inferior, atunci el converge, iar limita sa este marginea sa inferioară:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
În particular, orice șir real monoton și mărginit este convergent.
Acest criteriu se numește adesea teorema de convergență monotonă pentru șiruri. El este util deoarece stabilește existența unei limite fără a fi necesară cunoașterea prealabilă a valorii sale explicite.
Exemple
Exemplul 1. Să considerăm șirul
\[ a_n=1-\frac{1}{n}. \]
Acest șir este crescător, deoarece
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \]
și, întrucât
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}, \]
avem
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac{1}{n}. \]
Așadar
\[ a_{n+1}>a_n. \]
În plus, pentru orice \(n\in\mathbb{N}\),
\[ a_n<1. \]
Așadar, șirul este crescător și mărginit superior. Conform teoremei limitei unui șir monoton, el converge către marginea sa superioară.
În acest caz
\[ \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}=1. \]
Într-adevăr,
\[ 1-\frac{1}{n}<1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), astfel încât \(1\) este un majorant. În plus, pentru orice \(\varepsilon>0\) există \(n\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ 1-\varepsilon<1-\frac{1}{n}. \]
Această inegalitate este echivalentă cu
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon, \]
care este verificată pentru \(n\) suficient de mare. Așadar, \(1\) este cel mai mic majorant.
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1. \]
Exemplul 2. Să considerăm șirul
\[ b_n=\frac{1}{n}. \]
Acest șir este descrescător, deoarece
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). În plus, este mărginit inferior, deoarece
\[ b_n>0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Așadar, șirul \((b_n)\) este descrescător și mărginit inferior. Conform teoremei limitei unui șir monoton, el converge către marginea sa inferioară.
În acest caz
\[ \inf\{b_n:n\in\mathbb{N}\}=0. \]
Într-adevăr, \(0\) este un minorant al șirului, deoarece
\[ \frac{1}{n}>0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). În plus, pentru orice \(\varepsilon>0\) există \(n\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon. \]
Așadar, termenii șirului devin arbitrar de apropiați de \(0\) prin valori superioare. În consecință, \(0\) este cel mai mare minorant.
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Exemplul 3. Să considerăm șirul
\[ c_n=n. \]
Acest șir este crescător, dar nu este mărginit superior. Într-adevăr, pentru orice \(M>0\) există \(n\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ n>M. \]
Așadar, conform teoremei limitei unui șir monoton,
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Exemplul 4. Să considerăm șirul
\[ d_n=-n. \]
Acest șir este descrescător și nu este mărginit inferior. Într-adevăr, pentru orice \(M>0\) există \(n\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ -n<-M. \]
Așadar, conform teoremei limitei unui șir monoton,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Aceste exemple arată că monotonia garantează întotdeauna existența limitei, dar nu și faptul că limita este finită. Pentru a obține convergența către un număr real, este necesară, în plus, mărginirea corespunzătoare: superior pentru șirurile crescătoare și inferior pentru cele descrescătoare.
Teorema depinde în mod esențial de completitudinea numerelor reale. Într-adevăr, în \(\mathbb{Q}\) un șir monoton și mărginit poate să nu conveargă către un număr rațional. De exemplu, șirul aproximărilor zecimale finite ale lui \(\sqrt{2}\),
\[ 1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\ 1{,}4142;\ \ldots \]
este crescător și mărginit în \(\mathbb{Q}\), dar nu converge în \(\mathbb{Q}\), deoarece limita sa în \(\mathbb{R}\) este \(\sqrt{2}\), care este irațional.