O culegere progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre monoame și polinoame, concepută pentru a înțelege în mod riguros structurile fundamentale ale algebrei elementare. Exercițiile abordează treptat recunoașterea monoamelor, calculul gradului, operațiile cu monoame și polinoame, produsele remarcabile și primele tehnici de factorizare.
Fiecare rezolvare este construită pas cu pas, cu explicații care lămuresc nu doar calculele de efectuat, ci și motivul pentru care anumite reguli pot fi aplicate.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Stabiliți dacă expresia următoare este un monom:
\[ 5x^2y^3 \]
Rezultat
Da, este un monom.
Rezolvare
Un monom este o expresie obținută ca produs dintre un coeficient numeric și puteri ale variabilelor cu exponenți întregi nenegativi.
În expresia:
\[ 5x^2y^3 \]
coeficientul numeric este \(5\), iar variabilele sunt \(x\) și \(y\).
Exponenții variabilelor sunt:
\[ 2 \qquad \text{și} \qquad 3. \]
Ambii sunt numere întregi nenegative. Nu apar nici radicali, nici exponenți negativi sau fracționari.
Prin urmare, expresia satisface toate condițiile necesare pentru a fi un monom.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Stabiliți dacă:
\[ \frac{3}{x} \]
este un monom.
Rezultat
Nu, nu este un monom.
Rezolvare
Pentru a verifica dacă o expresie este un monom, este util să o rescriem folosind proprietățile puterilor.
Se observă că:
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
Apare astfel puterea:
\[ x^{-1}, \]
al cărei exponent este negativ.
Un monom poate conține doar exponenți întregi nenegativi. Prezența unui exponent negativ încalcă prin urmare chiar definiția monomului.
Din acest motiv:
\[ \frac{3}{x} \]
nu este un monom.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinați gradul monomului:
\[ -7x^3y^2z \]
Rezultat
Gradul monomului este \(6\).
Rezolvare
Gradul total al unui monom nenul se obține adunând exponenții tuturor variabilelor prezente în partea literală.
În monomul:
\[ -7x^3y^2z \]
variabilele apar cu următorii exponenți:
\[ x^3, \qquad y^2, \qquad z^1. \]
Exponentul variabilei \(z\) este implicit \(1\), deoarece:
\[ z=z^1. \]
Se adună exponenții:
\[ 3+2+1=6. \]
Monomul are deci gradul total:
\[ 6. \]
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Stabiliți dacă monoamele următoare sunt asemenea:
\[ 4x^2y^3 \qquad \text{și} \qquad -9x^2y^3 \]
Rezultat
Da, cele două monoame sunt asemenea.
Rezolvare
Două monoame se numesc asemenea atunci când au exact aceeași parte literală. Aceasta înseamnă că trebuie să apară aceleași variabile cu aceiași exponenți.
În primul monom, partea literală este:
\[ x^2y^3. \]
În al doilea monom apare exact aceeași parte literală:
\[ x^2y^3. \]
Diferă doar coeficienții numerici, care sunt respectiv:
\[ 4 \qquad \text{și} \qquad -9. \]
Deoarece partea literală coincide perfect, cele două monoame sunt asemenea.
Exercițiul 5 — nivel ★☆☆☆☆
Calculați:
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) \]
Rezultat
\[ -10x^5y^5 \]
Rezolvare
La produsul monoamelor se înmulțesc mai întâi coeficienții numerici, apoi se aplică proprietățile puterilor variabilelor comune.
Se calculează coeficienții:
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Pentru variabile se folosește proprietatea:
\[ x^a\cdot x^b=x^{a+b}. \]
Pentru variabila \(x\) se obține:
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Pentru variabila \(y\):
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
Reunind toți factorii:
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4)=-10x^5y^5. \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Calculați:
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y} \]
Rezultat
\[ 4x^3y^2 \]
Rezolvare
La împărțirea monoamelor se împart mai întâi coeficienții numerici, apoi se aplică proprietatea puterilor:
\[ \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}. \]
Se începe cu coeficienții:
\[ \frac{12}{3}=4. \]
Pentru variabila \(x\):
\[ \frac{x^5}{x^2}=x^{5-2}=x^3. \]
Pentru variabila \(y\):
\[ \frac{y^3}{y}=y^{3-1}=y^2. \]
Toți exponenții obținuți rămân nenegativi, deci rezultatul este tot un monom.
Se obține astfel:
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y}=4x^3y^2. \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Reduceți următorul polinom:
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 \]
Rezultat
\[ 5x^2-x+6 \]
Rezolvare
A reduce un polinom înseamnă a aduna între ele termenele asemenea, adică pe cele care au aceeași parte literală.
Se observă că:
\[ 3x^2 \qquad \text{și} \qquad 2x^2 \]
sunt termene asemenea, deoarece ambele conțin \(x^2\). Suma lor este:
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
De asemenea:
\[ -5x \qquad \text{și} \qquad 4x \]
sunt termene asemenea. Adunând coeficienții, se obține:
\[ -5x+4x=-x. \]
În final se adună termenii constanți:
\[ 7-1=6. \]
Polinomul redus este deci:
\[ 5x^2-x+6. \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinați gradul polinomului:
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
Rezultat
Gradul polinomului este \(5\).
Rezolvare
Gradul unui polinom nenul coincide cu gradul maxim al monoamelor care îl compun.
În polinomul:
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
termenul de grad cel mai ridicat este:
\[ 4x^5, \]
deoarece conține puterea \(x^5\).
Ceilalți termeni au grad inferior:
\[ -2x^3 \]
are gradul \(3\),
\[ x \]
are gradul \(1\), iar:
\[ -9 \]
este un termen constant și are gradul \(0\).
Gradul maxim prezent este deci:
\[ 5. \]
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Dezvoltați:
\[ (x+3)(x+5) \]
Rezultat
\[ x^2+8x+15 \]
Rezolvare
Pentru a dezvolta produsul a două binoame se aplică proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare.
Se înmulțește fiecare termen al primului binom cu fiecare termen al celui de-al doilea:
\[ (x+3)(x+5)=x(x+5)+3(x+5). \]
Se efectuează produsele:
\[ x(x+5)=x^2+5x, \]
și:
\[ 3(x+5)=3x+15. \]
Adunând rezultatele:
\[ x^2+5x+3x+15. \]
Termenele:
\[ 5x \qquad \text{și} \qquad 3x \]
sunt asemenea și pot fi adunate:
\[ 5x+3x=8x. \]
Se obține astfel:
\[ (x+3)(x+5)=x^2+8x+15. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Dezvoltați:
\[ (2x-1)(x+4) \]
Rezultat
\[ 2x^2+7x-4 \]
Rezolvare
și în acest caz se aplică proprietatea distributivă.
Se înmulțește fiecare termen al primului binom cu fiecare termen al celui de-al doilea:
\[ (2x-1)(x+4)=2x(x+4)-1(x+4). \]
Se dezvoltă produsele:
\[ 2x(x+4)=2x^2+8x, \]
iar:
\[ -1(x+4)=-x-4. \]
Adunând totul:
\[ 2x^2+8x-x-4. \]
Termenele:
\[ 8x \qquad \text{și} \qquad -x \]
sunt asemenea. Suma lor este:
\[ 8x-x=7x. \]
Rezultatul final este deci:
\[ 2x^2+7x-4. \]
Exercițiul 11 — nivel ★★☆☆☆
Dezvoltați:
\[ (x+2)^2 \]
Rezultat
\[ x^2+4x+4 \]
Rezolvare
Expresia:
\[ (x+2)^2 \]
reprezintă pătratul unui binom.
Este important de reținut că pătratul unei sume nu se obține ridicând pur și simplu la pătrat fiecare termen. Există formula:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
În cazul nostru:
\[ a=x, \qquad b=2. \]
Înlocuind în formulă:
\[ (x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2. \]
Se calculează termenii:
\[ 2\cdot x\cdot2=4x, \]
și:
\[ 2^2=4. \]
Se obține deci:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Exercițiul 12 — nivel ★★☆☆☆
Dezvoltați:
\[ (x-5)^2 \]
Rezultat
\[ x^2-10x+25 \]
Rezolvare
Expresia:
\[ (x-5)^2 \]
este pătratul unei diferențe.
Se aplică formula:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
În acest caz:
\[ a=x, \qquad b=5. \]
Înlocuind:
\[ (x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2. \]
Se efectuează calculele:
\[ 2\cdot x\cdot5=10x, \]
și:
\[ 5^2=25. \]
Prin urmare:
\[ (x-5)^2=x^2-10x+25. \]
Exercițiul 13 — nivel ★★☆☆☆
Simplificați:
\[ (x+3)(x-3) \]
Rezultat
\[ x^2-9 \]
Rezolvare
Produsul:
\[ (x+3)(x-3) \]
este format din suma și diferența acelorași doi termeni.
În astfel de cazuri se aplică produsul remarcabil numit diferența pătratelor:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
În cazul nostru:
\[ a=x, \qquad b=3. \]
Aplicând direct formula:
\[ (x+3)(x-3)=x^2-3^2. \]
Deoarece:
\[ 3^2=9, \]
se obține:
\[ x^2-9. \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Dezvoltați:
\[ (2x-3)^2 \]
Rezultat
\[ 4x^2-12x+9 \]
Rezolvare
și această expresie reprezintă pătratul unei diferențe.
Se aplică formula:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
În acest caz:
\[ a=2x, \qquad b=3. \]
Înlocuind:
\[ (2x-3)^2=(2x)^2-2(2x)(3)+3^2. \]
Se calculează fiecare termen.
Pătratul primului termen este:
\[ (2x)^2=4x^2. \]
Dublul produsului este:
\[ 2(2x)(3)=12x. \]
În final:
\[ 3^2=9. \]
Prin urmare:
\[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9. \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Determinați valoarea numerică a polinomului:
\[ P(x)=2x^2-3x+1 \]
pentru:
\[ x=4. \]
Rezultat
\[ 21 \]
Rezolvare
A calcula valoarea numerică a unui polinom înseamnă a substitui variabila cu numărul dat.
Se înlocuiește deci:
\[ x=4 \]
în expresia:
\[ P(x)=2x^2-3x+1. \]
Se obține:
\[ P(4)=2\cdot4^2-3\cdot4+1. \]
Se calculează mai întâi puterea:
\[ 4^2=16. \]
Prin urmare:
\[ P(4)=2\cdot16-12+1. \]
Se efectuează operațiile:
\[ 2\cdot16=32, \]
și deci:
\[ 32-12+1=21. \]
Valoarea numerică cerută este deci:
\[ 21. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Determinați zerourile polinomului:
\[ x^2-7x+12 \]
Rezultat
\[ x=3, \qquad x=4 \]
Rezolvare
A determina zerourile unui polinom înseamnă a găsi valorile variabilei pentru care polinomul se anulează.
Trebuie deci rezolvată ecuația:
\[ x^2-7x+12=0. \]
Se caută o descompunere a trinomului în forma:
\[ (x-a)(x-b). \]
Dezvoltând produsul se obține:
\[ x^2-(a+b)x+ab. \]
Comparând cu:
\[ x^2-7x+12, \]
trebuie găsite două numere astfel încât:
\[ a+b=7 \]
și simultan:
\[ ab=12. \]
Numerele care satisfac ambele condiții sunt:
\[ 3 \qquad \text{și} \qquad 4. \]
Prin urmare:
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
Un produs este nul dacă cel puțin unul dintre factorii săi este nul. Se obține astfel:
\[ x-3=0 \qquad \text{sau} \qquad x-4=0. \]
Soluțiile sunt:
\[ x=3, \qquad x=4. \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★☆☆
Verificați dacă:
\[ x=2 \]
este un zero al polinomului:
\[ P(x)=x^3-4x^2+x+6. \]
Rezultat
Da, \(2\) este un zero al polinomului.
Rezolvare
Un număr real este un zero al unui polinom dacă, substituind variabila cu acel număr, valoarea polinomului este egală cu zero.
Trebuie deci calculat:
\[ P(2). \]
Se înlocuiește \(x=2\):
\[ P(2)=2^3-4\cdot2^2+2+6. \]
Se calculează puterile:
\[ 2^3=8, \qquad 2^2=4. \]
Prin urmare:
\[ P(2)=8-4\cdot4+2+6. \]
Se efectuează produsul:
\[ 4\cdot4=16. \]
Se obține deci:
\[ P(2)=8-16+2+6. \]
Adunând:
\[ 8-16=-8, \]
și apoi:
\[ -8+2+6=0. \]
Deoarece:
\[ P(2)=0, \]
numărul \(2\) este într-adevăr un zero al polinomului.
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Efectuați împărțirea prin schema lui Ruffini:
\[ x^3-6x^2+11x-6 \]
împărțit la:
\[ x-1. \]
Rezultat
Câtul:
\[ x^2-5x+6 \]
Restul:
\[ 0 \]
Rezolvare
În schema lui Ruffini se folosește valoarea:
\[ r=1, \]
deoarece împărțitorul este:
\[ x-1. \]
Se scriu coeficienții polinomului:
\[ 1, \qquad -6, \qquad 11, \qquad -6. \]
Se construiește schema lui Ruffini:
\[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Numărul final obținut este:
\[ 0, \]
care reprezintă restul împărțirii.
Coeficienții:
\[ 1, \qquad -5, \qquad 6 \]
alcătuiesc polinomul cât:
\[ x^2-5x+6. \]
Prin urmare:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Descompuneți în factori:
\[ x^2-9x+20 \]
Rezultat
\[ (x-4)(x-5) \]
Rezolvare
Se dorește scrierea trinomului în forma:
\[ (x-a)(x-b). \]
Dezvoltând produsul:
\[ (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab. \]
Comparând cu:
\[ x^2-9x+20, \]
trebuie găsite două numere astfel încât:
\[ a+b=9 \]
și:
\[ ab=20. \]
Numerele căutate sunt:
\[ 4 \qquad \text{și} \qquad 5. \]
Se obține deci:
\[ x^2-9x+20=(x-4)(x-5). \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Descompuneți complet în factori:
\[ x^3-6x^2+11x-6. \]
Rezultat
\[ (x-1)(x-2)(x-3) \]
Rezolvare
Se caută mai întâi eventualele zerouri întregi ale polinomului.
Deoarece termenul liber este:
\[ -6, \]
eventualele zerouri întregi se caută printre divizorii lui \(6\):
\[ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6. \]
Se verifică că:
\[ P(1)=0. \]
Aceasta înseamnă că:
\[ x-1 \]
este un factor al polinomului.
Aplicând schema lui Ruffini se obține:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Rămâne de descompus trinomul:
\[ x^2-5x+6. \]
Se caută două numere cu suma \(5\) și produsul \(6\). Aceste numere sunt:
\[ 2 \qquad \text{și} \qquad 3. \]
Prin urmare:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Descompunerea completă în factori a polinomului este deci:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]