Această culegere propune 20 de exerciții rezolvate despre monoame și polinoame, ordonate după o progresie care urmează pas cu pas teoria. Vom începe cu recunoașterea monoamelor și cu aducerea lor la forma canonică; vom studia apoi coeficientul, partea literală, gradul și operațiile fundamentale. Vom trece în final la structura polinoamelor, la clasificarea lor, la operații și la calculul valorii numerice.
Fiecare exercițiu este însoțit de o rezolvare completă, în care sunt justificate regulile folosite și precizate condițiile necesare aplicării lor. Scopul nu este numai obținerea rezultatului corect, ci înțelegerea structurii expresiilor și a semnificației fiecărui pas.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă expresia
\[ 5x^2y^3 \]
este un monom.
Rezultat
Da, expresia este un monom.
Rezolvare
Un monom este o expresie algebrică alcătuită din produsul unui coeficient numeric și, dacă acestea există, al unor puteri ale variabilelor cu exponenți întregi nenegativi.
În expresia
\[ 5x^2y^3 \]
factorul numeric este \(5\), în timp ce partea literală este
\[ x^2y^3. \]
Variabila \(x\) apare cu exponentul \(2\), iar variabila \(y\) apare cu exponentul \(3\). Ambii exponenți sunt numere întregi nenegative.
În plus, variabilele nu apar la numitor, sub radical sau la exponentul altor puteri. Expresia are, așadar, exact structura cerută de definiția monomului.
Prin urmare,
\[ 5x^2y^3 \]
este un monom cu coeficientul \(5\) și partea literală \(x^2y^3\).
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă expresia
\[ \frac{3}{x} \]
este un monom.
Rezultat
Nu, expresia nu este un monom.
Rezolvare
Într-un monom, variabilele pot apărea numai ca baze ale unor puteri cu exponenți întregi nenegativi.
În expresia
\[ \frac{3}{x} \]
variabila \(x\) apare la numitor. Pentru \(x\neq0\), expresia poate fi rescrisă folosind un exponent negativ:
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
Exponentul lui \(x\) este, așadar, \(-1\), care este un număr întreg negativ și nu aparține mulțimii
\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
Prezența variabilei la numitor sau, echivalent, a unui exponent negativ împiedică expresia să fie un monom.
Prin urmare,
\[ \frac{3}{x} \]
nu este un monom.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se aducă la forma canonică monomul
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]
Rezultat
\[ -6x^6y^3 \]
Rezolvare
Un monom este scris sub formă canonică atunci când toți factorii numerici au fost înmulțiți între ei, iar fiecare variabilă apare o singură dată, ridicată la exponentul propriu.
În expresia
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 \]
factorii numerici sunt \(2\) și \(-3\). Produsul lor este
\[ 2\cdot(-3)=-6. \]
Să trecem acum la partea literală. Variabila \(x\) apare în puterile
\[ x^2 \qquad\text{și}\qquad x^4. \]
Aplicând proprietatea produsului puterilor cu aceeași bază,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
obținem
\[ x^2x^4=x^{2+4}=x^6. \]
Variabila \(y\) apare prima dată fără exponent scris și a doua oară în puterea \(y^2\). Deoarece
\[ y=y^1, \]
avem
\[ y\cdot y^2=y^{1+2}=y^3. \]
Reunind coeficientul și partea literală, obținem
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 = -6x^6y^3. \]
Monomul este acum scris sub formă canonică: coeficientul său este \(-6\), iar fiecare variabilă apare o singură dată.
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
În monomul
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
să se identifice coeficientul și partea literală.
Rezultat
Coeficientul este
\[ -\frac{5}{2}, \]
în timp ce partea literală este
\[ a^3b^2. \]
Rezolvare
Într-un monom nenul scris sub formă canonică se disting două componente: factorul numeric, împreună cu semnul său, poartă numele de coeficient; produsul puterilor variabilelor constituie, în schimb, partea literală.
Să considerăm monomul
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2. \]
Factorul său numeric este
\[ -\frac{5}{2}. \]
Semnul minus aparține coeficientului și nu trebuie separat de acesta. Coeficientul monomului este, așadar,
\[ -\frac{5}{2}. \]
Factorii literali sunt, în schimb,
\[ a^3 \qquad\text{și}\qquad b^2. \]
Produsul lor formează partea literală:
\[ a^3b^2. \]
Așadar, în monomul
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
coeficientul este \(\displaystyle -\frac{5}{2}\), iar partea literală este \(a^3b^2\).
Exercițiul 5 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine gradul în raport cu fiecare variabilă și gradul total al monomului
\[ -7x^3y^2z. \]
Rezultat
Gradul în raport cu \(x\) este \(3\), gradul în raport cu \(y\) este \(2\), iar gradul în raport cu \(z\) este \(1\).
Gradul total al monomului este
\[ 6. \]
Rezolvare
Gradul în raport cu o variabilă este exponentul cu care acea variabilă apare în forma canonică a monomului.
Să considerăm
\[ -7x^3y^2z. \]
Variabila \(x\) apare în puterea \(x^3\). Gradul în raport cu \(x\) este, așadar,
\[ 3. \]
Variabila \(y\) apare în puterea \(y^2\). Gradul în raport cu \(y\) este, prin urmare,
\[ 2. \]
Variabila \(z\) apare fără exponent scris. În acest caz, exponentul este implicit egal cu \(1\), deoarece
\[ z=z^1. \]
Gradul în raport cu \(z\) este, astfel,
\[ 1. \]
Gradul total al unui monom nenul se obține adunând exponenții tuturor variabilelor prezente în partea sa literală.
În cazul nostru avem
\[ 3+2+1=6. \]
Coeficientul \(-7\) nu influențează gradul, deoarece acesta depinde exclusiv de exponenții părții literale.
Prin urmare, monomul
\[ -7x^3y^2z \]
are gradul \(3\) în raport cu \(x\), gradul \(2\) în raport cu \(y\), gradul \(1\) în raport cu \(z\) și gradul total \(6\).
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se considere monoamele
\[ A=2x^2\cdot 3y,\qquad B=6yx^2,\qquad C=-6x^2y,\qquad D=4xy^2. \]
Să se stabilească ce monoame sunt egale, care sunt asemenea și care sunt opuse.
Rezultat
Monoamele \(A\) și \(B\) sunt egale.
Monoamele \(A\), \(B\) și \(C\) sunt asemenea.
Monoamele \(A\) și \(C\), precum și \(B\) și \(C\), sunt opuse.
Monomul \(D\) nu este asemenea cu celelalte.
Rezolvare
Pentru a compara corect niște monoame, este necesar să le scriem mai întâi sub formă canonică. În acest fel pot fi recunoscute imediat coeficientul și partea literală ale fiecăruia dintre ele.
Primul monom este
\[ A=2x^2\cdot 3y. \]
Înmulțind coeficienții numerici, se obține
\[ 2\cdot 3=6, \]
în timp ce partea literală este deja formată din produsul \(x^2y\). Prin urmare,
\[ A=6x^2y. \]
Al doilea monom este
\[ B=6yx^2. \]
Ordinea factorilor literali nu modifică produsul, deoarece înmulțirea este comutativă. Aranjând variabilele în ordine alfabetică, se obține
\[ B=6x^2y. \]
Monoamele \(A\) și \(B\) au, așadar, același coeficient și aceeași parte literală. Ele sunt, prin urmare, egale.
Al treilea monom este
\[ C=-6x^2y. \]
Partea sa literală este din nou
\[ x^2y, \]
în timp ce coeficientul său este \(-6\). Deoarece \(A\), \(B\) și \(C\) au aceeași parte literală, ele sunt asemenea.
Două monoame asemenea se numesc opuse atunci când au coeficienți opuși. Coeficienții lui \(A\) și \(C\) sunt \(6\), respectiv \(-6\); același lucru este valabil pentru \(B\) și \(C\). În consecință,
\[ A+C=6x^2y-6x^2y=0 \]
și
\[ B+C=6x^2y-6x^2y=0. \]
Așadar, \(A\) și \(C\) sunt opuse, la fel ca \(B\) și \(C\).
Să considerăm, în sfârșit,
\[ D=4xy^2. \]
Partea sa literală este
\[ xy^2, \]
care este diferită de \(x^2y\). Monomul \(D\) nu este, așadar, asemenea cu \(A\), \(B\) sau \(C\).
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se reducă următoarea sumă algebrică de monoame:
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
Rezultat
\[ 4x^2y+3xy^2 \]
Rezolvare
La adunarea și scăderea monoamelor pot fi reuniți direct numai termenii asemenea, adică monoamele care au aceeași parte literală.
Să considerăm expresia
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
Monoamele
\[ 7x^2y \qquad\text{și}\qquad -3x^2y \]
sunt asemenea, deoarece ambele au partea literală
\[ x^2y. \]
Se adună, așadar, algebric coeficienții respectivi:
\[ 7-3=4. \]
Se obține, prin urmare,
\[ 7x^2y-3x^2y=4x^2y. \]
De asemenea, monoamele
\[ 5xy^2 \qquad\text{și}\qquad -2xy^2 \]
sunt asemenea, deoarece ambele au partea literală
\[ xy^2. \]
Adunând coeficienții, avem
\[ 5-2=3, \]
și deci
\[ 5xy^2-2xy^2=3xy^2. \]
Reunind rezultatele obținute,
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2 = 4x^2y+3xy^2. \]
Monoamele \(4x^2y\) și \(3xy^2\) nu sunt asemenea, deoarece părțile lor literale sunt diferite. Ele nu mai pot fi, așadar, reunite.
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se calculeze produsul
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
Rezultat
\[ -10x^5y^5 \]
Rezolvare
Produsul a două monoame este întotdeauna un monom. Pentru a-l calcula, se înmulțesc coeficienții numerici și se adună exponenții puterilor cu aceeași bază.
Să considerăm
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
Coeficienții numerici sunt \(2\) și \(-5\). Produsul lor este
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Pentru variabila \(x\) avem
\[ x^3\cdot x^2. \]
Aplicând proprietatea produsului puterilor cu aceeași bază,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
obținem
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Pentru variabila \(y\), în schimb, avem
\[ y\cdot y^4. \]
Deoarece \(y=y^1\),
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
Reunind coeficientul și partea literală, se obține
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) = -10x^5y^5. \]
Rezultatul este deja scris sub formă canonică.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se calculeze puterea
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
Rezultat
\[ -8x^9y^6 \]
Rezolvare
Pentru a ridica un monom la un exponent întreg pozitiv, se ridică coeficientul la acel exponent și se înmulțește fiecare exponent al părții literale cu exponentul puterii.
Să considerăm
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
Puterea se referă la monomul întreg. Putem, așadar, scrie
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3\left(x^3\right)^3\left(y^2\right)^3. \]
Să calculăm mai întâi puterea coeficientului:
\[ (-2)^3=-8. \]
Rezultatul este negativ deoarece coeficientul este negativ, iar exponentul \(3\) este impar.
Pentru variabila \(x\) se aplică proprietatea puterii unei puteri:
\[ \left(x^m\right)^n=x^{mn}. \]
Prin urmare,
\[ \left(x^3\right)^3=x^{3\cdot3}=x^9. \]
În mod analog, pentru variabila \(y\) avem
\[ \left(y^2\right)^3=y^{2\cdot3}=y^6. \]
Reunind coeficientul și partea literală, obținem
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = -8x^9y^6. \]
Rezultatul este deja scris sub formă canonică.
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă monomul
\[ 12x^5y^3 \]
este divizibil cu monomul
\[ 3x^2y \]
și, în caz afirmativ, să se determine monomul cât.
Rezultat
Monomul \(12x^5y^3\) este divizibil cu \(3x^2y\).
Monomul cât este
\[ 4x^3y^2. \]
Rezolvare
Un monom \(M\) este divizibil cu un monom nenul \(N\) atunci când există un monom \(Q\) astfel încât
\[ M=NQ. \]
Pentru ca câtul să fie tot un monom, exponentul fiecărei variabile din deîmpărțit trebuie să fie mai mare sau egal cu exponentul corespunzător din împărțitor.
În cazul nostru, deîmpărțitul este
\[ 12x^5y^3, \]
în timp ce împărțitorul este
\[ 3x^2y. \]
Să comparăm mai întâi exponenții variabilei \(x\). În deîmpărțit exponentul este \(5\), iar în împărțitor este \(2\). Deoarece
\[ 5\geq2, \]
condiția cerută este îndeplinită.
Pentru variabila \(y\), exponentul din deîmpărțit este \(3\), iar cel din împărțitor este \(1\), deoarece \(y=y^1\). Și în acest caz
\[ 3\geq1. \]
Monomul \(12x^5y^3\) este, așadar, divizibil cu \(3x^2y\).
Pentru a determina câtul, se împart coeficienții:
\[ \frac{12}{3}=4, \]
și se scad exponenții puterilor cu aceeași bază:
\[ x^{5-2}=x^3 \]
și
\[ y^{3-1}=y^2. \]
Monomul cât este, prin urmare,
\[ Q=4x^3y^2. \]
Să verificăm rezultatul înmulțind împărțitorul cu câtul:
\[ (3x^2y)(4x^3y^2) = 12x^{2+3}y^{1+2} = 12x^5y^3. \]
Produsul coincide cu deîmpărțitul, deci împărțirea a fost efectuată corect.
Exercițiul 11 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă expresia
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
este un polinom.
Rezultat
Da, expresia este un polinom în variabilele \(x\) și \(y\).
Rezolvare
Un polinom este o sumă algebrică finită de monoame în aceleași variabile.
Să considerăm expresia
\[ 3x^2y-5xy^3+7. \]
Pentru a stabili dacă este vorba de un polinom, trebuie să verificăm că fiecare dintre termenii săi este un monom.
Primul termen este
\[ 3x^2y. \]
Coeficientul său este \(3\), în timp ce variabilele \(x\) și \(y\) apar cu exponenții \(2\), respectiv \(1\). Ambii exponenți sunt întregi nenegativi, deci \(3x^2y\) este un monom.
Al doilea termen este
\[ -5xy^3. \]
Coeficientul său este \(-5\), în timp ce \(x\) apare cu exponentul \(1\), iar \(y\) cu exponentul \(3\). Și acest termen este, așadar, un monom.
Al treilea termen este numărul real
\[ 7. \]
Orice număr real este un monom constant; în consecință, și \(7\) este un monom.
Expresia dată este, așadar, o sumă algebrică finită de trei monoame:
\[ 3x^2y,\qquad -5xy^3,\qquad 7. \]
Prin urmare,
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
este un polinom în variabilele \(x\) și \(y\).
Exercițiul 12 — nivel ★★☆☆☆
Să se considere polinomul
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Să se identifice termenii săi, coeficienții respectivi și termenul liber.
Rezultat
Termenii polinomului sunt
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
Coeficienții respectivi sunt
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]
Termenul liber este
\[ -7. \]
Rezolvare
Monoamele care alcătuiesc un polinom poartă numele de termeni ai polinomului.
Să considerăm
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Polinomul este format din patru monoame, separate prin semnele \(+\) și \(-\). Termenii săi sunt, așadar,
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
Semnul fiecărui termen este cuprins în coeficientul corespunzător.
În termenul
\[ 4x^3y \]
coeficientul este \(4\), iar partea literală este \(x^3y\).
În termenul
\[ -2xy^2 \]
coeficientul este \(-2\), iar partea literală este \(xy^2\).
În termenul
\[ 5x \]
coeficientul este \(5\), iar partea literală este \(x\).
Ultimul termen este
\[ -7. \]
Este vorba de un monom constant: coeficientul său este \(-7\), iar partea sa literală este \(1\).
Termenul unui polinom care nu conține variabile poartă numele de termen liber. În polinomul dat, așadar, termenul liber este
\[ -7. \]
În concluzie, coeficienții celor patru termeni sunt, respectiv,
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7, \]
în timp ce termenul liber este \(-7\).
Exercițiul 13 — nivel ★★☆☆☆
Să se reducă polinomul
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
Rezultat
\[ 5x^2-x+6 \]
Rezolvare
Un polinom este scris sub formă redusă atunci când toți termenii săi sunt monoame sub formă canonică și nu apar doi termeni asemenea.
A reduce un polinom înseamnă, așadar, a identifica termenii asemenea și a-i reuni adunând algebric coeficienții respectivi.
Să considerăm polinomul
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
Termenii
\[ 3x^2 \qquad\text{și}\qquad 2x^2 \]
sunt asemenea, deoarece ambii au partea literală \(x^2\). Adunând coeficienții, se obține
\[ 3+2=5, \]
și deci
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
De asemenea, termenii
\[ -5x \qquad\text{și}\qquad 4x \]
sunt asemenea, deoarece ambii au partea literală \(x\). Adunând algebric coeficienții, avem
\[ -5+4=-1. \]
Prin urmare,
\[ -5x+4x=-x. \]
În sfârșit, termenii constanți
\[ 7 \qquad\text{și}\qquad -1 \]
sunt monoame asemenea, deoarece ambii au partea literală egală cu \(1\). Suma lor este
\[ 7-1=6. \]
Reunind rezultatele obținute, avem
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 = 5x^2-x+6. \]
În polinomul obținut nu apar termeni asemenea, iar fiecare termen este deja scris sub formă canonică. Polinomul este, așadar, sub formă redusă.
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se reducă polinomul și să i se determine gradul:
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
Rezultat
Forma redusă a polinomului este
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
Gradul polinomului este
\[ 3. \]
Rezolvare
Gradul unui polinom nenul este cel mai mare grad total al monoamelor prezente în forma sa redusă.
Nu este, așadar, suficient să observăm exponentul cel mai mare din scrierea inițială: înainte de a determina gradul, trebuie să reducem polinomul, reunind eventualii termeni asemenea.
Să considerăm
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
Termenii
\[ 3x^4 \qquad\text{și}\qquad -3x^4 \]
sunt asemenea. Adunând coeficienții lor, se obține
\[ 3-3=0. \]
Prin urmare, cei doi termeni de gradul al patrulea se anulează:
\[ 3x^4-3x^4=0. \]
De asemenea, termenii
\[ -2x^3 \qquad\text{și}\qquad 5x^3 \]
sunt asemenea. Adunând algebric coeficienții, avem
\[ -2+5=3, \]
și deci
\[ -2x^3+5x^3=3x^3. \]
Termenii \(x^2\) și \(-4\) nu au termeni asemenea cu care să fie reuniți și rămân, așadar, neschimbați.
Forma redusă a polinomului este, prin urmare,
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
Termenii nenuli ai formei reduse au, respectiv, gradul
\[ 3,\qquad 2,\qquad 0. \]
Gradul maxim este \(3\). În consecință,
\[ \deg(P)=3. \]
Deși în scrierea inițială apăreau termeni de gradul al patrulea, aceștia s-au anulat în cursul reducerii. Gradul polinomului este, așadar, \(3\), nu \(4\).
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Să se reducă, atunci când este necesar, următoarele polinoame și să se clasifice după numărul de termeni:
\[ A(x)=4x^3, \]
\[ B(x)=x^2-1, \]
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1, \]
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
Rezultat
\(A(x)\) este un monom.
\(B(x)\) este un binom.
\(C(x)\) se reduce la
\[ x^2+x+1 \]
și este, așadar, un trinom.
\(D(x)\) se reduce la polinomul nul și nu se clasifică după numărul de termeni.
Rezolvare
Pentru a clasifica un polinom după numărul de termeni este necesar să considerăm forma sa redusă.
Un polinom nenul format dintr-un singur termen este un monom; dacă are doi termeni este un binom; dacă are trei este un trinom.
Să considerăm mai întâi
\[ A(x)=4x^3. \]
Polinomul este deja scris sub formă redusă și este format dintr-un singur termen nenul:
\[ 4x^3. \]
Prin urmare, \(A(x)\) este un monom.
Să trecem acum la polinomul
\[ B(x)=x^2-1. \]
Termenii săi sunt
\[ x^2 \qquad\text{și}\qquad -1. \]
Cei doi termeni nu sunt asemenea și nu pot fi, așadar, reuniți. Polinomul este deja sub formă redusă și are doi termeni.
Prin urmare, \(B(x)\) este un binom.
Să considerăm apoi
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1. \]
Înainte de a-l clasifica, trebuie să reunim termenii asemenea. Termenii
\[ 3x \qquad\text{și}\qquad -2x \]
au aceeași parte literală \(x\). Adunând coeficienții, se obține
\[ 3-2=1, \]
și deci
\[ 3x-2x=x. \]
Forma redusă a lui \(C(x)\) este, prin urmare,
\[ C(x)=x^2+x+1. \]
Termenii săi sunt
\[ x^2,\qquad x,\qquad 1. \]
Deoarece polinomul are trei termeni, \(C(x)\) este un trinom.
Să considerăm, în sfârșit,
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
Cei doi termeni sunt opuși, iar suma lor este egală cu zero:
\[ 5x^2-5x^2=0. \]
Prin urmare,
\[ D(x)=0. \]
Rezultatul este polinomul nul. În forma sa redusă, acesta nu are termeni nenuli și constituie, așadar, un caz particular: nu se clasifică drept monom, binom sau trinom după numărul de termeni.
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Să se considere polinoamele
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5, \]
\[ B(x)=2x^4+3x-1, \]
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Să se stabilească, pentru fiecare polinom, dacă este ordonat, complet și unitar.
Rezultat
\(A(x)\) este ordonat după puterile descrescătoare ale lui \(x\), complet și unitar.
\(B(x)\) este ordonat după puterile descrescătoare ale lui \(x\), incomplet și neunitar.
\(C(x)\) este ordonat după puterile crescătoare ale lui \(x\), incomplet și neunitar.
Rezolvare
Un polinom într-o variabilă se numește ordonat atunci când termenii săi sunt așezați după puterile crescătoare sau descrescătoare ale variabilei.
Un polinom de gradul \(n\) se numește complet atunci când conține, cu coeficienți nenuli, toate puterile variabilei de la \(n\) până la \(0\).
În sfârșit, un polinom nenul într-o variabilă se numește unitar atunci când coeficientul său dominant este egal cu \(1\).
Să considerăm mai întâi
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5. \]
Exponenții lui \(x\) apar în ordinea
\[ 4,\qquad 3,\qquad 2,\qquad 1,\qquad 0. \]
Ei sunt așezați în ordine descrescătoare. Polinomul este, așadar, ordonat după puterile descrescătoare ale lui \(x\).
Gradul lui \(A(x)\) este \(4\). Sunt prezente toate puterile de la \(4\) până la \(0\):
\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]
Toți coeficienții corespunzători sunt diferiți de zero. Prin urmare, \(A(x)\) este complet.
Termenul dominant este
\[ x^4, \]
al cărui coeficient este \(1\). În consecință, \(A(x)\) este și unitar.
Să considerăm acum
\[ B(x)=2x^4+3x-1. \]
Exponenții puterilor prezente sunt
\[ 4,\qquad 1,\qquad 0. \]
Ei sunt așezați în ordine descrescătoare, deci polinomul este ordonat după puterile descrescătoare ale lui \(x\).
Gradul lui \(B(x)\) este \(4\), dar nu apar termeni în \(x^3\) și în \(x^2\). Coeficienții acestor puteri sunt implicit egali cu zero.
Prin urmare, \(B(x)\) este incomplet.
Termenul dominant este
\[ 2x^4, \]
iar coeficientul dominant este \(2\), nu \(1\). În consecință, \(B(x)\) nu este unitar.
Să considerăm, în sfârșit,
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Exponenții puterilor prezente sunt
\[ 0,\qquad 1,\qquad 3,\qquad 4. \]
Ei sunt așezați în ordine crescătoare. Prin urmare, \(C(x)\) este ordonat după puterile crescătoare ale lui \(x\).
Gradul polinomului este \(4\), dar nu apare niciun termen în \(x^2\). Coeficientul lui \(x^2\) este, așadar, implicit egal cu \(0\).
În consecință, \(C(x)\) este incomplet.
Pentru a stabili dacă polinomul este unitar, trebuie identificat coeficientul termenului de cel mai mare grad. Termenul dominant este
\[ 3x^4, \]
iar coeficientul dominant este \(3\). Prin urmare, \(C(x)\) nu este unitar.
Exercițiul 17 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească which dintre următoarele polinoame sunt omogene și, în caz afirmativ, să li se determine gradul:
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3, \]
\[ B(x,y)=x^2+xy+y, \]
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
Rezultat
\(A(x,y)\) este un polinom omogen de gradul \(3\).
\(B(x,y)\) nu este un polinom omogen.
\(C(a,b,c)\) este un polinom omogen de gradul \(3\).
Rezolvare
Un polinom nenul în mai multe variabile se numește omogen atunci când toți termenii săi au același grad total.
Pentru a stabili dacă un polinom este omogen trebuie, așadar, să calculăm gradul total al fiecăruia dintre termenii săi. Gradul total al unui monom se obține adunând exponenții tuturor variabilelor prezente în partea sa literală.
Să considerăm mai întâi
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3. \]
Primul termen este
\[ 3x^3. \]
Variabila \(x\) apare cu exponentul \(3\), în timp ce \(y\) nu apare și are, așadar, exponentul \(0\). Gradul total al termenului este
\[ 3+0=3. \]
Al doilea termen este
\[ -2x^2y. \]
Exponenții lui \(x\) și \(y\) sunt \(2\), respectiv \(1\). Gradul total este, așadar,
\[ 2+1=3. \]
Al treilea termen este
\[ 5xy^2. \]
În acest caz exponenții sunt \(1\) și \(2\), prin urmare gradul total este
\[ 1+2=3. \]
Ultimul termen este
\[ -y^3. \]
Variabila \(x\) nu apare și are exponentul \(0\), în timp ce \(y\) are exponentul \(3\). Gradul total este, așadar,
\[ 0+3=3. \]
Toți termenii lui \(A(x,y)\) au gradul total \(3\). Prin urmare, \(A(x,y)\) este un polinom omogen de gradul \(3\).
Să considerăm acum
\[ B(x,y)=x^2+xy+y. \]
Termenul \(x^2\) are gradul total
\[ 2. \]
Termenul \(xy\) are gradul total
\[ 1+1=2. \]
Termenul \(y\), în schimb, are gradul total
\[ 1. \]
Termenii nu au toți același grad total. În consecință, \(B(x,y)\) nu este un polinom omogen.
Să considerăm, în sfârșit,
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
Termenul
\[ 2a^2b \]
are gradul total
\[ 2+1+0=3. \]
Termenul
\[ -3abc \]
are gradul total
\[ 1+1+1=3. \]
Termenul
\[ 4b^2c \]
are gradul total
\[ 0+2+1=3. \]
Și în acest caz toți termenii au același grad total. Prin urmare, \(C(a,b,c)\) este un polinom omogen de gradul \(3\).
Exercițiul 18 — nivel ★★★☆☆
Să se considere polinoamele
\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]
și
\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]
Să se calculeze
\[ P(x)+Q(x) \]
și
\[ P(x)-Q(x). \]
Rezultat
Suma este
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
Diferența este
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
Rezolvare
Pentru a aduna sau a scădea două polinoame se reunesc termenii asemenea, adică termenii care conțin aceeași putere a variabilei.
Să considerăm mai întâi suma
\[ P(x)+Q(x). \]
Înlocuind expresiile celor două polinoame, obținem
\[ P(x)+Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6). \]
Parantezele pot fi eliminate fără a modifica semnele termenilor, deoarece între cele două polinoame apare semnul \(+\):
\[ P(x)+Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1-x^3+4x^2-3x+6. \]
Să reunim acum termenii asemenea.
Termenii de gradul al treilea sunt
\[ 3x^3 \qquad\text{și}\qquad -x^3. \]
Adunând coeficienții, avem
\[ 3-1=2, \]
și deci
\[ 3x^3-x^3=2x^3. \]
Termenii de gradul al doilea sunt
\[ -2x^2 \qquad\text{și}\qquad 4x^2. \]
Adunând coeficienții, se obține
\[ -2+4=2, \]
prin urmare
\[ -2x^2+4x^2=2x^2. \]
Termenii de gradul întâi sunt
\[ 5x \qquad\text{și}\qquad -3x. \]
Suma lor este
\[ 5x-3x=2x. \]
În sfârșit, termenii liberi sunt
\[ -1 \qquad\text{și}\qquad 6. \]
Avem
\[ -1+6=5. \]
Prin urmare,
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
Să calculăm acum diferența
\[ P(x)-Q(x). \]
Înlocuind expresiile celor două polinoame, obținem
\[ P(x)-Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)-(-x^3+4x^2-3x+6). \]
A scădea un polinom înseamnă a aduna opusul său. Semnul minus așezat înaintea celei de-a doua paranteze modifică, așadar, semnul fiecărui termen al lui \(Q(x)\):
\[ -Q(x)=x^3-4x^2+3x-6. \]
În consecință,
\[ P(x)-Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1+x^3-4x^2+3x-6. \]
Să reunim din nou termenii asemenea.
Pentru termenii de gradul al treilea avem
\[ 3x^3+x^3=4x^3. \]
Pentru termenii de gradul al doilea,
\[ -2x^2-4x^2=-6x^2. \]
Pentru termenii de gradul întâi,
\[ 5x+3x=8x. \]
În sfârșit, pentru termenii liberi,
\[ -1-6=-7. \]
Prin urmare,
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
În niciunul dintre cele două rezultate nu apar termeni asemenea, deci polinoamele obținute sunt deja scrise sub formă redusă.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se considere polinoamele
\[ P(x)=2x-3 \]
și
\[ Q(x)=x^2+4x+1. \]
Să se calculeze
\[ P(x)Q(x) \]
și
\[ P(x)^2. \]
Rezultat
Produsul celor două polinoame este
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
Pătratul lui \(P(x)\) este
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
Rezolvare
Produsul a două polinoame se calculează aplicând proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare: fiecare termen al primului polinom trebuie înmulțit cu fiecare termen al celui de-al doilea.
Să considerăm mai întâi
\[ P(x)Q(x)=(2x-3)(x^2+4x+1). \]
Primul polinom este format din termenii \(2x\) și \(-3\). Să înmulțim fiecare dintre ei cu întregul polinom \(Q(x)\):
\[ (2x-3)(x^2+4x+1) = 2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1). \]
Să dezvoltăm primul produs:
\[ 2x(x^2+4x+1) = 2x\cdot x^2+2x\cdot4x+2x\cdot1. \]
Calculând fiecare termen, obținem
\[ 2x\cdot x^2=2x^3, \]
\[ 2x\cdot4x=8x^2 \]
și
\[ 2x\cdot1=2x. \]
Prin urmare,
\[ 2x(x^2+4x+1)=2x^3+8x^2+2x. \]
Să dezvoltăm acum al doilea produs:
\[ -3(x^2+4x+1) = -3\cdot x^2-3\cdot4x-3\cdot1. \]
Se obține
\[ -3(x^2+4x+1)=-3x^2-12x-3. \]
Reunind cele două dezvoltări, avem
\[ P(x)Q(x) = 2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3. \]
Termenii
\[ 8x^2 \qquad\text{și}\qquad -3x^2 \]
sunt asemenea. Adunând coeficienții, avem
\[ 8-3=5, \]
și deci
\[ 8x^2-3x^2=5x^2. \]
De asemenea, termenii
\[ 2x \qquad\text{și}\qquad -12x \]
sunt asemenea. Suma lor este
\[ 2x-12x=-10x. \]
Produsul redus este, prin urmare,
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
Să calculăm acum puterea a doua a lui \(P(x)\):
\[ P(x)^2=(2x-3)^2. \]
A ridica un polinom la pătrat înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
\[ P(x)^2=(2x-3)(2x-3). \]
Să aplicăm din nou proprietatea distributivă:
\[ (2x-3)(2x-3) = 2x(2x-3)-3(2x-3). \]
Dezvoltând primul produs, se obține
\[ 2x(2x-3)=2x\cdot2x-2x\cdot3=4x^2-6x. \]
Dezvoltând al doilea produs, avem
\[ -3(2x-3)=-6x+9. \]
Reunind rezultatele,
\[ P(x)^2=4x^2-6x-6x+9. \]
Termenii \(-6x\) și \(-6x\) sunt asemenea, iar suma lor este
\[ -6x-6x=-12x. \]
Prin urmare,
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
În ambele calcule rezultatul este tot un polinom, așa cum garantează faptul că mulțimea polinoamelor este închisă față de înmulțire.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★☆
Să se considere polinomul
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Să i se calculeze valoarea numerică pentru
\[ x=2 \qquad\text{și}\qquad y=-1. \]
Rezultat
\[ P(2,-1)=-11 \]
Rezolvare
A calcula valoarea numerică a unui polinom înseamnă a înlocui fiecare variabilă cu valoarea dată și a efectua operațiile indicate.
Polinomul este
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Trebuie să înlocuim
\[ x=2 \qquad\text{și}\qquad y=-1. \]
Scrierea
\[ P(2,-1) \]
indică, așadar, numărul obținut înlocuind \(2\) la fiecare apariție a lui \(x\) și \(-1\) la fiecare apariție a lui \(y\).
Efectuând înlocuirile, se obține
\[ P(2,-1) = 3\cdot 2^2\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot(-1)^2 + 5. \]
Valoarea negativă atribuită lui \(y\) a fost pusă între paranteze. Acest pas este esențial, mai ales atunci când numărul trebuie ridicat la o putere.
Să calculăm mai întâi puterile:
\[ 2^2=4 \]
și
\[ (-1)^2=1. \]
A doua putere este pozitivă deoarece produsul a două numere negative este pozitiv:
\[ (-1)^2=(-1)(-1)=1. \]
Înlocuind valorile puterilor, obținem
\[ P(2,-1) = 3\cdot4\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot1 + 5. \]
Să calculăm acum primul produs:
\[ 3\cdot4\cdot(-1)=12\cdot(-1)=-12. \]
Al doilea produs este
\[ 2\cdot2\cdot1=4. \]
Prin urmare,
\[ P(2,-1)=-12-4+5. \]
Efectuând în sfârșit adunarea algebrică,
\[ -12-4=-16 \]
și
\[ -16+5=-11. \]
Valoarea numerică cerută este, așadar,
\[ P(2,-1)=-11. \]