Monomii și Polinoamele: Definiții, Proprietăți și Operații

Definiția Monomului

Un monom în variabilele \(x_1,x_2,\dots,x_n\) este o expresie algebrică alcătuită din produsul unui coeficient numeric și, dacă este cazul, al unor puteri ale variabilelor cu exponenți întregi nenegativi.

Odată adus la forma normală, un monom se poate scrie sub forma

\[ a x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]

unde \(a\) este un număr real, numit coeficient, \(x_1,x_2,\dots,x_n\) sunt variabilele, iar exponenții \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) sunt numere întregi nenegative, adică elemente ale mulțimii

\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]

Sunt monoame, de exemplu,

\[ 5x^2y^3,\qquad -\frac{3}{4}ab^2,\qquad x^4,\qquad -7. \]

În monomul \(x^4\) coeficientul \(1\) nu se scrie; analog, în monomul \(-x^4\) coeficientul este \(-1\).

Un monom poate să nu fie scris de la bun început sub formă normală. Să considerăm, de exemplu,

\[ 2x\cdot 3xy^2. \]

Înmulțind factorii numerici și grupând puterile aceleiași variabile, se obține

\[ 2x\cdot 3xy^2=6x^2y^2. \]

Expresia dată reprezintă, prin urmare, un monom, deoarece este alcătuită exclusiv din produse de factori numerici și puteri de variabile cu exponenți întregi nenegativi.

De asemenea, orice număr real este un monom. Un număr real diferit de zero se numește monom constant, întrucât nu conține variabile, în timp ce numărul \(0\) poartă numele de monom nul.

Condiția impusă exponenților este esențială. Nu sunt monoame, de exemplu,

\[ \frac{1}{x},\qquad x^{-2},\qquad \sqrt{x},\qquad x^{\frac{3}{2}},\qquad 2^x. \]

Într-adevăr, în primele două expresii variabila apare cu exponent negativ; în următoarele două apare cu exponent neîntreg; în ultima apare ca exponent, și nu ca bază a unei puteri.

În particular, într-un monom, o variabilă nu poate figura la numitor, sub un radical sau în exponent. Un numitor pur numeric este, în schimb, admis, deoarece poate fi înglobat în coeficient. De exemplu,

\[ \frac{x^2y}{3}=\frac{1}{3}x^2y \]

este un monom.

Nu toate expresiile algebrice sunt monoame. Expresia

\[ 3x^2y+1 \]

este o sumă de două monoame care nu sunt asemenea și nu poate fi, prin urmare, redusă la un singur monom. Este însă un polinom, după cum vom vedea în secțiunile următoare.

Forma Normală, Coeficientul și Partea Literală

Un monom este scris sub formă normală atunci când toți factorii săi numerici au fost înmulțiți între ei, iar fiecare variabilă apare o singură dată, ridicată la propriul exponent.

Pentru a obține forma normală se folosesc comutativitatea și asociativitatea înmulțirii, împreună cu regula produsului puterilor cu aceeași bază:

\[ x^m x^n=x^{m+n}. \]

Să considerăm monomul

\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]

Înmulțind factorii numerici și adunând exponenții puterilor cu aceeași bază, obținem

\[ 2\cdot(-3)\cdot x^{2+4}y^{1+2}=-6x^6y^3. \]

Forma normală a monomului dat este, prin urmare,

\[ -6x^6y^3. \]

Ordinea factorilor literali nu modifică monomul, deoarece înmulțirea este comutativă. Expresiile

\[ 3x^2y,\qquad 3yx^2,\qquad 3xyx \]

reprezintă, așadar, unul și același monom. Primele două sunt deja scrise sub formă normală, în timp ce a treia nu, deoarece variabila \(x\) apare în doi factori distincți. Pentru a uniformiza scrierea, variabilele se așază în general în ordine alfabetică.

Într-un monom nenul scris sub formă normală, factorul numeric, împreună cu semnul său, poartă numele de coeficient; produsul puterilor variabilelor alcătuiește, în schimb, partea literală.

În monomul

\[ -6x^6y^3 \]

coeficientul este \(-6\), iar partea literală este

\[ x^6y^3. \]

Când coeficientul este \(1\), acesta se omite; când este \(-1\), se scrie doar semnul minus:

\[ x^2y=1\cdot x^2y, \qquad -x^2y=-1\cdot x^2y. \]

Un monom constant nenul are drept coeficient numărul însuși, iar drept parte literală factorul \(1\). În monomul

\[ -7, \]

de exemplu, coeficientul este \(-7\), iar partea literală este \(1\).

Variabilele cu exponentul \(0\) nu se trec în forma normală, întrucât corespund factorului multiplicativ \(1\). În partea literală apar, prin urmare, numai variabilele care au exponent strict pozitiv.

Să considerăm, în sfârșit,

\[ -\frac{2}{3}x\cdot 9xy^2. \]

Aducerea la forma normală conduce la

\[ -\frac{2}{3}\cdot 9\cdot x^2y^2=-6x^2y^2. \]

Fixată o ordine a variabilelor, orice monom nenul are o unică formă normală. Această unicitate permite compararea imediată a două monoame și va fi fundamentală pentru a defini monoamele egale, asemenea și opuse.

Monomul nul constituie un caz particular. Într-adevăr, orice produs având coeficientul \(0\) reprezintă aceeași expresie nulă:

\[ 0x^2y=0a^5b^3=0. \]

Din acest motiv el se scrie pur și simplu \(0\) și nu i se atribuie o parte literală determinată.

Gradul unui Monom

Exponenții care figurează în partea literală a unui monom îi descriu gradul. Această noțiune permite să măsurăm de câte ori, în ansamblu sau în raport cu o anumită variabilă, intervin factorii literali în produs.

Să considerăm monomul nenul

\[ -5x^2y^3z. \]

Gradul în raport cu o variabilă este exponentul cu care acea variabilă apare în forma normală a monomului. Prin urmare, monomul precedent are gradul \(2\) în raport cu \(x\), gradul \(3\) în raport cu \(y\) și gradul \(1\) în raport cu \(z\).

Dacă o variabilă nu apare în partea literală, exponentul său se consideră egal cu \(0\). Același monom are, de exemplu, gradul \(0\) în raport cu variabila \(t\).

Gradul total al unui monom nenul, sau pur și simplu gradul său, este suma exponenților tuturor variabilelor prezente în forma sa normală.

În exemplul nostru avem

\[ 2+3+1=6. \]

Monomul

\[ -5x^2y^3z \]

este, prin urmare, un monom de grad total \(6\).

Coeficientul nu influențează gradul. Monoamele

\[ 4x^2y^3,\qquad -7x^2y^3,\qquad \frac{1}{2}x^2y^3 \]

au toate gradul total \(5\), deoarece au aceeași parte literală.

Și ordinea în care sunt scrise variabilele este lipsită de importanță. De exemplu,

\[ 3a^2bc^4 \]

are gradul \(2\) în raport cu \(a\), gradul \(1\) în raport cu \(b\), gradul \(4\) în raport cu \(c\) și gradul total

\[ 2+1+4=7. \]

Un monom constant nenul are partea literală egală cu \(1\) și nu conține variabile cu exponent strict pozitiv. Gradul său este, prin urmare, \(0\). De exemplu,

\[ \deg(-8)=0. \]

Monomul nul reprezintă, în schimb, un caz particular. Deoarece poate fi scris formal atribuindu-i-se orice parte literală,

\[ 0=0x=0x^2y^5=0a^{10}b, \]

nu i se poate asocia un grad determinat. Din acest motiv, în algebra elementară gradul monomului nul rămâne nedefinit.

Distincția dintre gradul în raport cu o variabilă și gradul total devine deosebit de importantă atunci când sunt prezente mai multe variabile. În monomul

\[ 2x^4y^2, \]

gradul în raport cu \(x\) este \(4\), gradul în raport cu \(y\) este \(2\), în timp ce gradul total este \(6\). Cele trei informații nu trebuie, așadar, confundate.

Monoame Egale, Asemenea și Opuse

Pentru a compara corect două monoame este necesar ca acestea să fie scrise în prealabil sub formă normală. Numai astfel se pot recunoaște de îndată coeficientul și partea literală ale fiecăruia.

Două monoame nenule se numesc egale dacă, odată aduse la forma normală, au același coeficient și aceeași parte literală.

Să considerăm, de exemplu,

\[ 2x^2\cdot 3y \qquad\text{și}\qquad 6yx^2. \]

Aducând ambele monoame la forma normală, se obține

\[ 2x^2\cdot 3y=6x^2y, \qquad 6yx^2=6x^2y. \]

Cele două monoame sunt, prin urmare, egale, chiar dacă inițial fuseseră scrise în mod diferit.

Două monoame nenule se numesc, în schimb, asemenea dacă au aceeași parte literală, indiferent de coeficienții lor.

Monoamele

\[ 3x^2y,\qquad -7x^2y,\qquad \frac{1}{2}x^2y \]

sunt asemenea, deoarece au toate partea literală

\[ x^2y. \]

Nu sunt însă asemenea monoamele

\[ 3x^2y \qquad\text{și}\qquad 3xy^2, \]

întrucât variabilele \(x\) și \(y\) apar cu exponenți diferiți.

Două monoame egale sunt în mod necesar asemenea, dar două monoame asemenea nu sunt în mod necesar egale. Pentru a fi egale, într-adevăr, trebuie să coincidă atât partea literală, cât și coeficientul.

Două monoame nenule se numesc opuse dacă au aceeași parte literală și coeficienți opuși.

De exemplu,

\[ 5a^2b^3 \qquad\text{și}\qquad -5a^2b^3 \]

sunt monoame opuse. Suma lor este egală cu monomul nul:

\[ 5a^2b^3-5a^2b^3=0. \]

Mai general, dacă

\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}, \]

monomul opus lui \(M\) este

\[ -M=-ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]

Monomul nul constituie încă o dată un caz particular. El este egal doar cu sine însuși și este totodată propriul său opus, deoarece

\[ -0=0. \]

În schimb, nu i se atribuie o parte literală determinată; din acest motiv, atunci când se vorbește despre monoame asemenea, se au în vedere de obicei monoame nenule.

Asemănarea monoamelor este fundamentală în operațiile algebrice: în cadrul unei sume algebrice, numai monoamele asemenea pot fi grupate direct într-un singur termen. De exemplu,

\[ 3x^2y-7x^2y=-4x^2y, \]

în timp ce în expresia

\[ 3x^2y-7xy^2 \]

cei doi termeni rămân distincți, pentru că nu sunt asemenea.

Operații cu Monoame

Operațiile cu monoame se întemeiază pe proprietățile numerelor reale, ale înmulțirii și ale puterilor. Înainte de a efectua orice calcul, este bine ca monoamele să fie aduse la forma normală, astfel încât să li se recunoască imediat coeficientul și partea literală.

Adunarea și Scăderea

La adunare și la scădere, monoamele asemenea pot fi grupate într-un singur monom, deoarece au aceeași parte literală.

În acest caz se adună algebric coeficienții și se păstrează neschimbată partea literală:

\[ ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} + bx_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} = (a+b)x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}. \]

De exemplu,

\[ 7x^2y-3x^2y=(7-3)x^2y=4x^2y. \]

Analog,

\[ -5a^3b+2a^3b=(-5+2)a^3b=-3a^3b. \]

Dacă suma coeficienților este nulă, rezultatul este monomul nul:

\[ 4x^2y-4x^2y=0. \]

Când două monoame nenule nu sunt asemenea, suma lor rămâne totuși o expresie algebrică perfect determinată, însă cei doi termeni nu pot fi grupați într-un singur monom. De exemplu,

\[ 3x^2y+5xy^2 \]

nu este un monom, deoarece părțile literale \(x^2y\) și \(xy^2\) sunt diferite.

Înmulțirea

Produsul a două monoame este întotdeauna un monom. Pentru a-l calcula, se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții puterilor cu aceeași bază.

Dacă

\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \qquad\text{și}\qquad N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \]

atunci

\[ MN = abx_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n+\beta_n}. \]

Să considerăm, de exemplu,

\[ (2x^2y)(-3xy^4). \]

Înmulțind coeficienții și aplicând regula produsului puterilor cu aceeași bază, obținem

\[ (2x^2y)(-3xy^4) = -6x^{2+1}y^{1+4} = -6x^3y^5. \]

Dacă cele două monoame sunt nenule, gradul produsului este egal cu suma gradelor lor:

\[ \deg(MN)=\deg(M)+\deg(N). \]

În exemplul precedent, cei doi factori au gradul \(3\), respectiv gradul \(5\), în timp ce produsul are gradul

\[ 3+5=8. \]

Ridicarea la Putere

Pentru a ridica un monom la un exponent întreg strict pozitiv, se ridică coeficientul la acel exponent și se înmulțește fiecare exponent al părții literale cu exponentul puterii.

Dacă

\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]

și \(m\) este un întreg strict pozitiv, atunci

\[ M^m = a^m x_1^{m\alpha_1}\cdots x_n^{m\alpha_n}. \]

De exemplu,

\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3x^{3\cdot3}y^{2\cdot3} = -8x^9y^6. \]

Semnul rezultatului depinde de semnul coeficientului și de paritatea exponentului. Dacă coeficientul este diferit de zero, o putere cu exponent par are coeficient pozitiv, în timp ce o putere cu exponent impar păstrează semnul coeficientului inițial. Dacă monomul este nul, orice putere a sa cu exponent întreg strict pozitiv este tot egală cu \(0\).

Dacă monomul este nenul, gradul puterii sale este egal cu produsul dintre gradul monomului și exponent:

\[ \deg(M^m)=m\deg(M). \]

Pentru orice monom nenul se pune, în plus,

\[ M^0=1. \]

Cazul \(0^0\) rămâne, în schimb, nedefinit.

Împărțirea

Împărțirea monoamelor nu conduce întotdeauna la un monom. Fiind date două monoame nenule

\[ M=ax_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]

și

\[ N=bx_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}, \qquad b\neq0, \]

spunem că \(M\) este divizibil cu \(N\) dacă există un monom \(Q\) astfel încât

\[ M=NQ. \]

Pentru ca un asemenea monom să existe, exponentul fiecărei variabile din deîmpărțit trebuie să fie mai mare sau egal cu exponentul corespunzător din împărțitor. Trebuie, așadar, să avem

\[ \alpha_1\geq\beta_1,\qquad \alpha_2\geq\beta_2,\qquad \dots,\qquad \alpha_n\geq\beta_n. \]

Când aceste condiții sunt îndeplinite, monomul cât este

\[ Q=\frac{a}{b}x_1^{\alpha_1-\beta_1}\cdots x_n^{\alpha_n-\beta_n}. \]

De exemplu, monomul \(12x^5y^3\) este divizibil cu \(3x^2y\), deoarece monomul cât este

\[ 4x^{5-2}y^{3-1}=4x^3y^2, \]

și, într-adevăr,

\[ (3x^2y)(4x^3y^2)=12x^5y^3. \]

Monomul \(6x^2y\) nu este însă divizibil cu \(3x^4\), deoarece calculul exponenților ar cere

\[ x^{2-4}=x^{-2}, \]

care nu poate figura în partea literală a unui monom.

Monomul nul este divizibil cu orice monom nenul și are drept cât monomul nul. Împărțirea la monomul nul nu este niciodată definită.

Dacă \(M\) și \(N\) sunt monoame nenule și \(M\) este divizibil cu \(N\), gradul câtului este dat de diferența gradelor lor:

\[ \deg(Q)=\deg(M)-\deg(N). \]

Adunarea, scăderea, înmulțirea, ridicarea la putere și împărțirea nu se comportă, prin urmare, la fel. La adunare și la scădere pot fi grupate direct numai monoamele asemenea; produsul și orice putere cu exponent întreg strict pozitiv sunt tot monoame; puterea cu exponentul \(0\) este definită numai pentru monoamele nenule; în sfârșit, un monom nenul este divizibil cu un alt monom nenul numai atunci când toți exponenții deîmpărțitului sunt mai mari sau egali cu exponenții corespunzători ai împărțitorului.

Definiția Polinomului

Un polinom în variabilele \(x_1,x_2,\dots,x_n\) este o sumă algebrică finită de monoame în aceleași variabile.

În general, un polinom se poate scrie sub forma

\[ P(x_1,x_2,\dots,x_n)=M_1+M_2+\cdots+M_k, \]

unde \(M_1,M_2,\dots,M_k\) sunt monoame, iar \(k\) este un număr întreg strict pozitiv.

Sunt polinoame, de exemplu,

\[ 3x^2y-5xy^3+7, \qquad a^4-2a^2b+b^2, \qquad 4x^3-x+1. \]

Fiecare dintre expresiile precedente este alcătuită dintr-un număr finit de monoame legate prin semnele \(+\) și \(-\). Scăderea nu necesită o definiție separată, întrucât a scădea un monom înseamnă a aduna opusul său:

\[ 3x^2-5x=3x^2+(-5x). \]

Orice monom nenul este, așadar, și un polinom alcătuit dintr-un singur termen. În particular,

\[ 6x^3y^2\qquad\text{și}\qquad -4 \]

sunt polinoame. Și monomul nul reprezintă un polinom, numit polinomul nul; în forma sa redusă, el nu are niciun termen nenul.

În cazul unei singure variabile \(x\), un polinom se poate scrie sub forma

\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]

unde \(a_0,a_1,\dots,a_n\) sunt numere reale, iar exponenții lui \(x\) sunt întregi nenegativi.

Nu este necesar ca toți coeficienții să fie diferiți de zero. De exemplu,

\[ P(x)=2x^5-3x^2+1 \]

se poate scrie și sub forma

\[ P(x)=1+0x-3x^2+0x^3+0x^4+2x^5. \]

Termenii care au coeficientul nul se omit de obicei, deoarece nu contribuie la valoarea expresiei.

Cuvântul finită este esențial. O expresie care conține o sumă infinită de puteri, precum

\[ 1+x+x^2+x^3+\cdots, \]

nu este un polinom, întrucât are un număr infinit de termeni.

Rămân valabile și condițiile deja întâlnite pentru monoame. Nu sunt polinoame, de exemplu,

\[ \frac{1}{x}+2, \qquad \sqrt{x}+x, \qquad x^{\frac{3}{2}}-1, \qquad 2^x+x. \]

În aceste expresii variabila apare, respectiv, cu exponent negativ, sub un radical, cu exponent neîntreg sau la exponentul unei puteri.

Este important de observat că un polinom poate fi prezentat sub forme aparent diferite. De exemplu,

\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]

este un polinom, dar conține termeni care pot fi grupați. După adunarea monoamelor asemenea, el devine

\[ x^2-2x+4. \]

Cele două expresii reprezintă același polinom. A doua este scrisă sub formă redusă, noțiune pe care o vom aprofunda în secțiunea următoare.

Termeni, Coeficienți și Forma Redusă

Monoamele care alcătuiesc un polinom poartă numele de termeni ai polinomului. Să considerăm, de exemplu,

\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]

Termenii săi sunt

\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]

Semnul fiecărui termen este cuprins în coeficientul respectiv. În polinomul precedent, prin urmare, coeficienții sunt

\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]

Termenul lipsit de variabile poartă numele de termen liber. În exemplul considerat, termenul liber este \(-7\). Dacă în scrierea unui polinom nu apare niciun termen liber, se consideră că termenul său liber este \(0\).

Un polinom poate conține termeni asemenea, adică monoame având aceeași parte literală. În acest caz, asemenea termeni pot fi grupați adunând algebric coeficienții respectivi.

Să considerăm polinomul

\[ 3x^2y-5xy^2+4x^2y+2xy^2-7. \]

Termenii \(3x^2y\) și \(4x^2y\) sunt asemenea, la fel ca termenii \(-5xy^2\) și \(2xy^2\). Grupându-i, se obține

\[ (3+4)x^2y+(-5+2)xy^2-7, \]

și, prin urmare,

\[ 7x^2y-3xy^2-7. \]

Un polinom se spune că este scris sub formă redusă atunci când toți termenii săi sunt monoame în formă normală și nu apar doi termeni asemenea.

A reduce un polinom înseamnă, așadar, a aduce mai întâi fiecare termen al său la forma normală și a grupa apoi termenii asemenea. Termenii al căror coeficient se dovedește egal cu \(0\) se elimină.

De exemplu,

\[ 2x\cdot 3xy-4x^2y+x^2y+5 \]

devine mai întâi

\[ 6x^2y-4x^2y+x^2y+5, \]

și apoi

\[ (6-4+1)x^2y+5=3x^2y+5. \]

Forma redusă permite recunoașterea imediată a structurii efective a unui polinom. Într-adevăr, două expresii aparent diferite reprezintă același polinom atunci când, după ce au fost reduse, prezintă aceiași termeni cu aceiași coeficienți.

De exemplu,

\[ 2x^2+3x-x^2-5x+4 \]

și

\[ x^2-2x+4 \]

reprezintă același polinom, întrucât prima expresie se reduce la a doua.

În cazul unui polinom într-o singură variabilă,

\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \]

numărul \(a_k\) este coeficientul lui \(x^k\). Dacă \(a_k\neq0\), monomul \(a_kx^k\) este un termen al polinomului și are gradul \(k\); dacă, dimpotrivă, \(a_k=0\), termenul corespunzător se omite din scriere.

De exemplu, în polinomul

\[ P(x)=3x^4-2x+1, \]

coeficienții lui \(x^3\) și \(x^2\) sunt amândoi nuli. Într-adevăr, polinomul se poate scrie și sub forma

\[ P(x)=3x^4+0x^3+0x^2-2x+1. \]

Termenii cu coeficient nul se omit de obicei, dar considerarea lor ca fiind prezenți în mod implicit permite compararea mai ușoară a unor polinoame diferite și efectuarea ordonată a operațiilor dintre ele.

Gradul și Clasificarea Polinoamelor

Gradul unui Polinom

Gradul unui polinom nenul este cel mai mare dintre gradele totale ale monoamelor care apar în forma sa redusă.

Este, prin urmare, necesar ca polinomul să fie redus înainte de a i se determina gradul, deoarece adunarea termenilor asemenea poate modifica sau elimina termenii de grad maxim.

Să considerăm, de exemplu,

\[ P(x)=x^3-x^3+2x+1. \]

Cei doi termeni de gradul al treilea se anulează, iar polinomul se reduce la

\[ P(x)=2x+1. \]

Gradul său este, așadar, \(1\), și nu \(3\).

În cazul unui polinom într-o singură variabilă, scris sub forma redusă

\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0, \]

gradul este cel mai mare exponent cu care apare variabila \(x\):

\[ \deg(P)=n. \]

Coeficientul \(a_n\) poartă numele de coeficient dominant, în timp ce termenul \(a_nx^n\) se numește termen dominant.

De exemplu, în polinomul

\[ P(x)=-3x^5+2x^2-x+4, \]

gradul este \(5\), coeficientul dominant este \(-3\), iar termenul dominant este \(-3x^5\).

Un polinom constant nenul are gradul \(0\). De exemplu,

\[ \deg(7)=0. \]

Polinomul nul constituie, în schimb, un caz particular. Deoarece poate fi scris atribuindu-i-se termeni de orice grad,

\[ 0=0x=0x^2=0x^{10}, \]

în algebra elementară gradul său rămâne nedefinit.

Pentru un polinom în mai multe variabile se poate considera și gradul în raport cu o variabilă dată, definit ca cel mai mare exponent cu care acea variabilă apare în termenii nenuli ai formei reduse.

Să considerăm polinomul

\[ P(x,y)=3x^2y-5xy^3+7. \]

Cei trei termeni au gradul total \(3\), \(4\), respectiv \(0\). Gradul total al polinomului este, prin urmare,

\[ \deg(P)=4. \]

Gradul în raport cu \(x\) este, în schimb, \(2\), în timp ce gradul în raport cu \(y\) este \(3\).

Clasificarea după Numărul de Termeni

După ce un polinom nenul a fost redus, el poate fi clasificat după numărul termenilor săi.

Un polinom alcătuit dintr-un singur termen nenul este un monom; un polinom alcătuit din doi termeni este un binom; un polinom alcătuit din trei termeni este un trinom.

De exemplu,

\[ 4x^3,\qquad x^2-1,\qquad x^2+3x+2 \]

sunt, respectiv, un monom, un binom și un trinom.

Polinomul nul constituie un caz particular: el coincide cu monomul nul, dar în forma sa redusă nu are termeni nenuli și nu se clasifică după numărul de termeni.

Și această clasificare trebuie făcută după reducere. Expresia

\[ x^2+3x-2x+1 \]

conține inițial patru termeni, dar se reduce la

\[ x^2+x+1, \]

fiind, prin urmare, un trinom.

Polinoame Ordonate și Complete

Un polinom într-o variabilă se numește ordonat dacă termenii săi sunt așezați după puterile crescătoare sau descrescătoare ale variabilei.

Polinomul

\[ 3x^4-2x^3+x-5 \]

este ordonat după puterile descrescătoare ale lui \(x\), în timp ce

\[ -5+x-2x^3+3x^4 \]

este ordonat după puterile crescătoare.

Un polinom de gradul \(n\) se numește complet în raport cu variabila \(x\) dacă el conține, cu coeficienți nenuli, toate puterile lui \(x\) de la \(n\) până la \(0\).

De exemplu,

\[ 2x^4-x^3+3x^2+x-5 \]

este un polinom complet de gradul al patrulea, deoarece conține puterile

\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]

Polinomul

\[ 2x^4+3x-5 \]

este, în schimb, incomplet, întrucât nu conține termeni în \(x^3\) și în \(x^2\). Coeficienții corespunzători acestor puteri sunt, în mod implicit, egali cu \(0\).

Polinoame Omogene

Un polinom nenul în mai multe variabile se numește omogen dacă toți termenii săi au același grad total.

De exemplu,

\[ P(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3 \]

este omogen de gradul \(3\), deoarece fiecare termen are gradul total \(3\).

Polinomul

\[ Q(x,y)=x^2+xy+y \]

nu este însă omogen: primii doi termeni au gradul \(2\), în timp ce termenul \(y\) are gradul \(1\).

Polinoame Unitare

Un polinom nenul într-o variabilă se numește unitar dacă coeficientul său dominant este egal cu \(1\).

Polinomul

\[ x^4-3x^2+2x-1 \]

este unitar, în timp ce

\[ 2x^4-3x^2+2x-1 \]

nu este, deoarece coeficientul său dominant este \(2\).

Gradul, numărul de termeni, ordonarea, omogenitatea și proprietățile de a fi complet sau unitar descriu aspecte diferite ale structurii unui polinom. Același polinom poate, prin urmare, să facă parte simultan din mai multe categorii: de exemplu, poate fi un trinom, ordonat, incomplet și unitar.

Operații cu Polinoame

Suma, diferența și produsul a două polinoame sunt tot polinoame. În consecință, și orice putere a unui polinom cu exponent întreg strict pozitiv este un polinom. Se spune, prin urmare, că mulțimea polinoamelor este închisă în raport cu adunarea, scăderea și înmulțirea.

Înainte de a efectua calculele, este bine ca fiecare polinom să fie redus și, în cazul polinoamelor într-o singură variabilă, ca termenii să fie ordonați după puterile crescătoare sau descrescătoare ale variabilei.

Adunarea

Pentru a aduna două polinoame se grupează termenii asemenea, adunând algebric coeficienții respectivi.

Să considerăm

\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]

și

\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]

Așezând termenii asemenea în aceeași ordine, obținem

\[ \begin{aligned} P(x)+Q(x) &=(3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6)\\ &=(3-1)x^3+(-2+4)x^2+(5-3)x+(-1+6)\\ &=2x^3+2x^2+2x+5. \end{aligned} \]

Adunarea se poate efectua și așezând polinoamele pe verticală, având grijă ca termenii cu aceeași parte literală să fie plasați în aceeași coloană.

Pentru două polinoame nenule \(P\) și \(Q\), gradul sumei satisface

\[ \deg(P+Q)\leq\max\{\deg(P),\deg(Q)\}, \]

cu condiția ca \(P+Q\) să nu fie polinomul nul.

Gradul sumei poate fi mai mic decât cel mai mare dintre gradele celor două polinoame atunci când termenii lor de grad maxim se anulează. De exemplu,

\[ (2x^3+x)+(-2x^3+4)=x+4. \]

Cele două polinoame au gradul \(3\), în timp ce suma lor are gradul \(1\).

Scăderea

A scădea un polinom înseamnă a aduna opusul său. Opusul unui polinom se obține schimbând semnul tuturor termenilor săi.

Dacă

\[ Q(x)=x^2-3x+5, \]

atunci

\[ -Q(x)=-x^2+3x-5. \]

Să considerăm acum

\[ P(x)=4x^2+x-2. \]

Diferența \(P(x)-Q(x)\) este

\[ \begin{aligned} P(x)-Q(x) &=(4x^2+x-2)-(x^2-3x+5)\\ &=4x^2+x-2-x^2+3x-5\\ &=3x^2+4x-7. \end{aligned} \]

Parantezele sunt esențiale: semnul minus așezat în fața unui polinom schimbă semnul fiecărui termen cuprins în interiorul lui.

Înmulțirea

Produsul a două polinoame se calculează aplicând în mod repetat proprietatea distributivă: fiecare termen al primului polinom trebuie înmulțit cu fiecare termen al celui de-al doilea.

Să considerăm

\[ P(x)=2x-3 \qquad\text{și}\qquad Q(x)=x^2+4x+1. \]

Avem

\[ \begin{aligned} P(x)Q(x) &=(2x-3)(x^2+4x+1)\\ &=2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1)\\ &=2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3\\ &=2x^3+5x^2-10x-3. \end{aligned} \]

După aplicarea proprietății distributive, rezultatul trebuie redus, grupând eventualii termeni asemenea.

Produsul a două polinoame nenule nu este niciodată polinomul nul. Mai mult, gradul său este egal cu suma gradelor factorilor:

\[ \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q). \]

În exemplul precedent,

\[ \deg(P)=1, \qquad \deg(Q)=2, \]

și, într-adevăr,

\[ \deg(PQ)=1+2=3. \]

Această proprietate decurge din faptul că termenul dominant al produsului se obține înmulțind termenii dominanți ai celor doi factori. Dacă

\[ P(x)=a_nx^n+\cdots \qquad\text{și}\qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots, \]

cu \(a_n\neq0\) și \(b_m\neq0\), termenul dominant al produsului este

\[ a_nb_mx^{n+m}. \]

Deoarece produsul \(a_nb_m\) a două numere reale nenule este tot diferit de zero, gradul produsului este \(n+m\).

Ridicarea la Putere

A ridica un polinom la un exponent întreg strict pozitiv înseamnă a forma produsul unui număr de factori egali cu polinomul, numărul acestora fiind indicat de exponent.

De exemplu,

\[ P(x)^3=P(x)\cdot P(x)\cdot P(x). \]

Să considerăm polinomul

\[ P(x)=x+2. \]

Puterea sa a doua este

\[ \begin{aligned} P(x)^2 &=(x+2)(x+2)\\ &=x^2+2x+2x+4\\ &=x^2+4x+4. \end{aligned} \]

Calculul a fost efectuat aplicând proprietatea distributivă. Formulele cunoscute sub numele de formule de calcul prescurtat permit scurtarea unor dezvoltări care revin frecvent, dar ele decurg întotdeauna din aceeași proprietate.

Dacă \(P\) este un polinom nenul și \(m\) este un întreg strict pozitiv, atunci

\[ \deg(P^m)=m\deg(P). \]

Într-adevăr, \(P^m\) este produsul a \(m\) factori toți egali cu \(P\), iar gradul produsului este suma gradelor fiecăruia dintre factori.

Pentru orice polinom nenul se pune, în plus,

\[ P(x)^0=1. \]

Cazul în care polinomul este nul, iar exponentul este \(0\), rămâne nedefinit.

Operațiile pe care tocmai le-am studiat arată că adunarea, scăderea și înmulțirea conduc întotdeauna la polinoame; același lucru este valabil pentru puterile cu exponent întreg strict pozitiv. Pentru orice polinom nenul este definită și puterea cu exponentul \(0\), în timp ce împărțirea cere condiții suplimentare și va fi tratată separat.

Valoarea Numerică a unui Polinom

Valoarea numerică a unui polinom se obține înlocuind variabilele sale cu anumite valori numerice și efectuând operațiile indicate.

Să considerăm, de exemplu, polinomul

\[ P(x)=2x^3-5x+1. \]

Atribuind variabilei \(x\) valoarea \(2\), se obține

\[ P(2)=2\cdot 2^3-5\cdot 2+1. \]

Efectuând calculele,

\[ P(2)=2\cdot 8-10+1=16-10+1=7. \]

Se spune, prin urmare, că valoarea numerică a lui \(P(x)\) pentru \(x=2\) este \(7\).

Scrierea \(P(2)\) indică numărul obținut prin înlocuirea cu \(2\) a fiecărei apariții a variabilei \(x\). Mai general, dacă

\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \]

atunci, fiind dat un număr real \(c\), avem

\[ P(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_1c+a_0. \]

Când valoarea atribuită variabilei este negativă, este important ca aceasta să fie pusă între paranteze înainte de a fi ridicată la putere. Să considerăm, de exemplu,

\[ Q(x)=x^3-2x^2+4. \]

Pentru \(x=-2\) se obține

\[ Q(-2)=(-2)^3-2(-2)^2+4. \]

Prin urmare,

\[ Q(-2)=-8-2\cdot 4+4=-8-8+4=-12. \]

Parantezele permit să deosebim corect puterea numărului negativ de opusul unei puteri. Într-adevăr,

\[ (-2)^2=4, \qquad -2^2=-4. \]

Valoarea numerică poate fi calculată și pentru polinoame în mai multe variabile. Să considerăm

\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]

Pentru \(x=2\) și \(y=-1\), avem

\[ P(2,-1)=3\cdot 2^2\cdot(-1)-2\cdot 2\cdot(-1)^2+5. \]

Efectuând calculele,

\[ P(2,-1)=3\cdot 4\cdot(-1)-4+5=-12-4+5=-11. \]

În general, dacă \(P(x_1,x_2,\dots,x_n)\) este un polinom în \(n\) variabile, valoarea sa numerică pentru \(x_1=c_1,x_2=c_2,\dots,x_n=c_n\) se notează cu

\[ P(c_1,c_2,\dots,c_n) \]

și se obține înlocuind, pentru fiecare \(i=1,2,\dots,n\), variabila \(x_i\) cu numărul \(c_i\).

Deoarece un polinom conține numai sume, diferențe, produse și puteri cu exponent întreg nenegativ, valoarea sa numerică este definită pentru orice alegere reală a variabilelor.

Oricărui polinom într-o variabilă i se poate asocia, prin urmare, o funcție care fiecărui număr real \(x\) îi atribuie valoarea corespunzătoare \(P(x)\):

\[ x\longmapsto P(x). \]

Polinomul și funcția polinomială asociată lui sunt obiecte strâns legate, dar care nu trebuie confundate: primul este un obiect algebric reprezentat printr-o expresie formală, în timp ce a doua este funcția care asociază fiecărei valori a variabilei valoarea numerică corespunzătoare a polinomului.