Intuitiv, o mulțime poate fi gândită ca o colecție de obiecte bine determinate, numite elemente. Într-o tratare elementară, aceasta înseamnă că trebuie să fie clar, fără ambiguitate, dacă un obiect aparține sau nu aparține mulțimii.
Când elementele considerate sunt numere, se vorbește despre mulțime numerică. Printre mulțimile numerice fundamentale se află numerele naturale, numerele întregi, numerele raționale și numerele reale. Numerele iraționale constituie, în schimb, partea numerelor reale care nu aparține raționalelor.
Introducerea lor urmează un criteriu precis: fiecare extindere permite rezolvarea unor probleme care, în mulțimea precedentă, nu au întotdeauna soluție. Numerele naturale permit numărarea; numerele întregi fac posibilă scăderea fără a ieși din mulțime; numerele raționale permit reprezentarea rapoartelor dintre întregi; numerele reale reunesc într-o singură mulțime numerele raționale și numerele iraționale.
Mulțimile numerice fundamentale sunt legate prin următorul lanț de incluziuni:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Această relație înseamnă că orice număr natural este și număr întreg, orice număr întreg este și număr rațional, iar orice număr rațional este și număr real. A studia mulțimile numerice înseamnă, așadar, a înțelege cum sunt organizate numerele, ce proprietăți posedă și ce operații sunt posibile în fiecare mulțime.
Cuprins
- De ce se introduc noi mulțimi numerice
- Numerele naturale \(\mathbb{N}\)
- Numerele întregi \(\mathbb{Z}\)
- Numerele raționale \(\mathbb{Q}\)
- Numerele iraționale
- Numerele reale \(\mathbb{R}\)
- Relații între mulțimile numerice
- Reprezentarea zecimală a numerelor reale
- Schemă recapitulativă
De ce se introduc noi mulțimi numerice
Pentru a înțelege rolul mulțimilor numerice nu este suficient să le enumerăm: este necesar să sesizăm ce nevoie matematică duce la introducerea lor. Punctul central este că o mulțime poate fi potrivită pentru anumite operații, dar nu pentru altele.
O proprietate importantă este închiderea în raport cu o operație. O mulțime numerică este închisă în raport cu o anumită operație dacă, aplicând acea operație unor elemente ale mulțimii, rezultatul aparține în continuare aceleiași mulțimi.
De exemplu, numerele naturale sunt închise în raport cu adunarea și înmulțirea. Într-adevăr,
\[ 3+5=8 \]
și
\[ 3\cdot 5=15. \]
În ambele cazuri rezultatul este tot un număr natural.
Scăderea, în schimb, nu este întotdeauna posibilă rămânând în numerele naturale. Într-adevăr,
\[ 3-5=-2, \]
dar \(-2\) nu aparține lui \(\mathbb{N}\). Pentru a face posibilă scăderea într-un mod mai general se introduc atunci numerele întregi.
Numerele întregi permit efectuarea adunărilor, scăderilor și înmulțirilor fără a ieși din mulțime, dar nu sunt închise în raport cu împărțirea. De exemplu, ecuația
\[ 2x=1 \]
nu are soluție întreagă, deoarece soluția ei este
\[ x=\frac{1}{2}. \]
Pentru a reprezenta rapoarte de acest tip se introduc numerele raționale, adică numerele care pot fi scrise ca fracție de doi întregi cu numitor diferit de zero.
Totuși, nici numerele raționale nu descriu toate mărimile matematice. Diagonala unui pătrat de latură \(1\), de exemplu, măsoară \(\sqrt{2}\), iar acest număr nu poate fi scris ca raport de doi întregi. Pentru a include și mărimi de acest tip se trece la mulțimea numerelor reale.
Parcursul fundamental este, așadar,
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Fiecare extindere o conține pe cea precedentă și permite abordarea unor probleme care înainte nu aveau întotdeauna soluție. De aceea mulțimile numerice trebuie studiate în mod progresiv: fiecare se naște dintr-o nevoie precisă și posedă proprietăți proprii.
Numerele naturale \(\mathbb{N}\)
Numerele naturale sunt numerele folosite pentru a număra și a ordona. Servesc, de exemplu, la a indica câte unități conține o anumită cantitate sau ce poziție ocupă un element într-un șir ordonat.
Adoptăm convenția potrivit căreia zero aparține mulțimii numerelor naturale:
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
Dacă se doresc indicate numai numerele naturale pozitive, adică fără zero, se poate folosi notația
\[ \mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,\dots\}. \]
Mulțimea numerelor naturale este infinită și ordonată. Într-adevăr, elementele ei pot fi dispuse după ordinea naturală
\[ 0<1<2<3<\dots \]
și, dat fiind un număr natural \(n\), numărul \(n+1\) este tot un număr natural. Numărul \(n+1\) se numește succesorul lui \(n\).
Numerele naturale sunt închise în raport cu adunarea și înmulțirea. Aceasta înseamnă că, dacă \(a\) și \(b\) sunt numere naturale, atunci și \(a+b\) și \(a\cdot b\) sunt numere naturale:
\[ a,b\in\mathbb{N} \quad\Longrightarrow\quad a+b\in\mathbb{N} \quad\text{și}\quad a\cdot b\in\mathbb{N}. \]
De exemplu,
\[ 4+7=11 \quad\text{și}\quad 4\cdot 7=28. \]
În ambele cazuri rezultatul aparține în continuare lui \(\mathbb{N}\).
Nu toate operațiile, însă, sunt întotdeauna posibile în interiorul numerelor naturale. Scăderea poate conduce la un rezultat care nu aparține lui \(\mathbb{N}\). De exemplu,
\[ 3-5=-2. \]
Deoarece \(-2\) nu este un număr natural, mulțimea \(\mathbb{N}\) nu este închisă în raport cu scăderea.
Această observație evidențiază prima limită a numerelor naturale: ele sunt potrivite pentru a reprezenta cantități întregi nenegative, dar nu sunt suficiente atunci când trebuie descrise diferențe care pot fi negative. Din acest motiv se introduce mulțimea numerelor întregi.
Numerele întregi \(\mathbb{Z}\)
Numerele întregi se nasc din nevoia de a efectua scăderi care, în numerele naturale, nu sunt întotdeauna posibile. De exemplu, scăderea \(3-5\) nu are un rezultat care să aparțină lui \(\mathbb{N}\), deoarece dă un număr negativ.
Mulțimea numerelor întregi se notează cu \(\mathbb{Z}\) și este formată din numerele naturale și din opușii lor:
\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}. \]
Deoarece orice număr natural este și număr întreg, are loc incluziunea
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]
Mulțimea \(\mathbb{Z}\) este infinită atât spre dreapta, cât și spre stânga. Într-adevăr, elementele ei pot fi ordonate în felul următor:
\[ \dots<-3<-2<-1<0<1<2<3<\dots \]
Spre deosebire de \(\mathbb{N}\), mulțimea numerelor întregi nu are un element minim: dat fiind un număr întreg oarecare, există întotdeauna un număr întreg mai mic.
Proprietatea fundamentală a numerelor întregi este existența opusului. Dacă \(a\) este un număr întreg, atunci și \(-a\) este un număr întreg, și avem
\[ a+(-a)=0. \]
Datorită opușilor, scăderea dintre numere întregi este întotdeauna posibilă. Într-adevăr, a scădea un număr echivalează cu a aduna opusul său:
\[ a-b=a+(-b). \]
De exemplu,
\[ 3-5=3+(-5)=-2. \]
Rezultatul aparține lui \(\mathbb{Z}\), așadar mulțimea numerelor întregi este închisă în raport cu scăderea.
În plus, numerele întregi sunt închise și în raport cu adunarea și înmulțirea. Dacă \(a\) și \(b\) sunt numere întregi, atunci
\[ a+b\in\mathbb{Z} \quad\text{și}\quad a\cdot b\in\mathbb{Z}. \]
De exemplu,
\[ (-4)+7=3 \quad\text{și}\quad (-4)\cdot 7=-28. \]
În ambele cazuri rezultatul este tot un număr întreg.
Cu toate acestea, numerele întregi nu sunt închise în raport cu împărțirea. De exemplu,
\[ 1:2=\frac{1}{2}, \]
dar \(\displaystyle \frac{1}{2}\) nu este un număr întreg. În mod echivalent, ecuația
\[ 2x=1 \]
nu are soluție în \(\mathbb{Z}\).
Aceasta arată limita numerelor întregi: ele permit efectuarea adunărilor, scăderilor și înmulțirilor fără a ieși din mulțime, dar nu sunt suficiente pentru a reprezenta toate rapoartele dintre numere. Din acest motiv se introduc numerele raționale.
Numerele raționale \(\mathbb{Q}\)
Numerele raționale se nasc din nevoia de a reprezenta rapoarte dintre numere întregi. Într-adevăr, deși în numerele întregi sunt întotdeauna posibile adunarea, scăderea și înmulțirea, împărțirea nu produce întotdeauna un număr întreg.
De exemplu, ecuația
\[ 2x=1 \]
nu are soluție în \(\mathbb{Z}\), deoarece soluția ei este
\[ x=\frac{1}{2}. \]
Pentru a include numere de acest tip se introduce mulțimea numerelor raționale, notată cu \(\mathbb{Q}\).
Un număr este rațional dacă poate fi scris ca raport de două numere întregi, cu numitor diferit de zero. În simboluri,
\[ \mathbb{Q}= \left\{ \frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq 0 \right\}. \]
Condiția \(q\neq 0\) este necesară deoarece împărțirea la zero nu este definită.
Sunt numere raționale, de exemplu,
\[ \frac{1}{2}, \qquad -\frac{3}{5}, \qquad \frac{7}{4}, \qquad 0. \]
De asemenea, orice număr întreg este rațional, deoarece poate fi scris ca fracție cu numitorul egal cu \(1\). De exemplu,
\[ 5=\frac{5}{1}, \qquad -3=\frac{-3}{1}, \qquad 0=\frac{0}{1}. \]
În consecință, are loc incluziunea
\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]
Unul și același număr rațional poate fi reprezentat prin fracții diferite. De exemplu,
\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}. \]
Aceste fracții sunt diferite, dar reprezintă același număr rațional. În general, înmulțind numărătorul și numitorul cu unul și același întreg nenul, sau împărțindu-le pe ambele la unul și același divizor comun nenul, numărul rațional reprezentat nu se schimbă.
Mulțimea numerelor raționale este închisă în raport cu adunarea, scăderea și înmulțirea. În plus, este închisă în raport cu împărțirea, cu condiția ca împărțitorul să fie diferit de zero. Dacă \(a,b\in\mathbb{Q}\) și \(b\neq 0\), atunci
\[ a+b\in\mathbb{Q}, \qquad a-b\in\mathbb{Q}, \qquad a\cdot b\in\mathbb{Q}, \qquad \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}. \]
De exemplu,
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} \]
și
\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}. \]
În ambele cazuri rezultatul este tot un număr rațional.
Cu toate acestea, numerele raționale nu sunt suficiente pentru a reprezenta toate mărimile care apar în matematică. Există, într-adevăr, numere care nu pot fi scrise ca raport de doi întregi. Un exemplu fundamental este \(\sqrt{2}\), care reprezintă lungimea diagonalei unui pătrat de latură \(1\).
Aceasta arată limita numerelor raționale: ele permit reprezentarea tuturor rapoartelor dintre întregi, dar nu a tuturor mărimilor geometrice și numerice. Pentru a descrie aceste numere noi este necesar să introducem numerele iraționale.
Numerele iraționale
Numerele raționale permit reprezentarea tuturor rapoartelor dintre numere întregi, dar nu epuizează toate numerele care apar în matematică. Există, într-adevăr, mărimi care nu pot fi exprimate printr-o fracție cu numărător și numitor întregi.
Un exemplu fundamental este dat de \(\sqrt{2}\). Acest număr reprezintă lungimea diagonalei unui pătrat de latură \(1\). Într-adevăr, conform teoremei lui Pitagora, dacă \(d\) notează diagonala, atunci
\[ d^2=1^2+1^2=2, \]
de unde
\[ d=\sqrt{2}. \]
Numărul \(\sqrt{2}\), însă, nu este rațional. Să demonstrăm aceasta prin reducere la absurd.
Să presupunem că \(\sqrt{2}\) ar fi rațional. Atunci ar exista două numere întregi \(p\) și \(q\), cu \(q\neq 0\), astfel încât
\[ \sqrt{2}=\frac{p}{q}. \]
Putem, în plus, presupune că fracția este ireductibilă, adică \(p\) și \(q\) nu au divizori comuni diferiți de \(1\) și \(-1\).
Ridicând la pătrat ambii membri, obținem
\[ 2=\frac{p^2}{q^2}, \]
de unde
\[ p^2=2q^2. \]
Așadar \(p^2\) este par. Deoarece pătratul unui întreg impar este impar, și \(p\) trebuie să fie par. Există atunci un întreg \(k\) astfel încât
\[ p=2k. \]
Înlocuind în egalitatea \(p^2=2q^2\), se obține
\[ (2k)^2=2q^2, \]
adică
\[ 4k^2=2q^2. \]
Împărțind la \(2\), rezultă că
\[ q^2=2k^2. \]
Prin urmare \(q^2\) este par. Din nou, deoarece pătratul unui întreg impar este impar, și \(q\) trebuie să fie par.
Am obținut astfel că \(p\) și \(q\) sunt amândoi pari. Acest lucru este imposibil, deoarece aleseserăm fracția \(\displaystyle \frac{p}{q}\) ireductibilă. Contradicția arată că \(\sqrt{2}\) nu este rațional:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. \]
Numerele precum \(\sqrt{2}\), adică numerele care nu pot fi scrise ca raport de doi întregi, se numesc numere iraționale.
În contextul numerelor reale, mulțimea numerelor iraționale se notează cu
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]
Sunt numere iraționale, de exemplu,
\[ \sqrt{2}, \qquad \sqrt{3}, \qquad \pi. \]
Numerele iraționale arată că numerele raționale nu sunt suficiente pentru a descrie toate mărimile geometrice și numerice. Din acest motiv este necesar să considerăm o mulțime mai amplă, capabilă să conțină atât numerele raționale, cât și pe cele iraționale: mulțimea numerelor reale.
Numerele reale \(\mathbb{R}\)
Mulțimea numerelor reale conține toate numerele raționale și toate numerele iraționale. Se notează cu simbolul \(\mathbb{R}\).
În particular, orice număr rațional este și real, așadar
\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Sunt, în schimb, reale, dar nu raționale, numere precum
\[ \sqrt{2},\qquad \sqrt{3},\qquad \pi. \]
Putem, așadar, distinge numerele reale în două clase:
- numerele raționale, care pot fi scrise ca fracție de doi întregi cu numitor diferit de zero;
- numerele iraționale, care nu pot fi scrise sub această formă.
În simboluri, mulțimea numerelor iraționale se notează cu
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]
Prin urmare, numerele reale sunt formate din reuniunea numerelor raționale și a numerelor iraționale:
\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]
În plus, un număr real nu poate fi în același timp rațional și irațional. Într-adevăr, cele două mulțimi nu au elemente comune:
\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]
Numerele reale pot fi reprezentate pe axa numerelor. Pe această axă se așază numerele naturale, întregii, raționalele și, de asemenea, iraționalele.
De exemplu, numerele
\[ -2,\qquad 0,\qquad \frac{1}{2},\qquad \sqrt{2},\qquad 3 \]
sunt toate numere reale și pot fi ordonate pe axa numerelor.
Mulțimea \(\mathbb{R}\) permite, așadar, lucrul într-un singur cadru cu numere întregi, fracții, numere zecimale finite, numere zecimale periodice și numere zecimale infinite neperiodice.
În acest sens, numerele reale constituie mulțimea numerică cea mai amplă dintre cele studiate în această introducere:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Relații între mulțimile numerice
După ce am introdus principalele mulțimi numerice, putem descrie mai precis relațiile care le leagă.
A spune că o mulțime este conținută în alta înseamnă că orice element al primei mulțimi este și element al celei de-a doua. De exemplu, orice număr natural este și număr întreg; așadar, mulțimea numerelor naturale este conținută în mulțimea numerelor întregi:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]
În același mod, orice număr întreg este și număr rațional, deoarece poate fi scris ca fracție cu numitorul \(1\). Într-adevăr, dacă \(n\in\mathbb{Z}\), atunci
\[ n=\frac{n}{1}. \]
De aceea are loc incluziunea
\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]
În sfârșit, orice număr rațional este și număr real, așadar
\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Reunind aceste relații, obținem lanțul fundamental al mulțimilor numerice:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Acest lanț trebuie citit de la stânga la dreapta: trecând de la o mulțime la următoarea, nu se pierd numerele deja introduse, ci se adaugă altele noi.
De exemplu:
- \(5\) este un număr natural, așadar este și întreg, rațional și real;
- \(-3\) este un număr întreg, așadar este și rațional și real, dar nu este natural;
- \(\displaystyle \frac{2}{5}\) este un număr rațional și real, dar nu este întreg;
- \(\sqrt{2}\) este un număr real, dar nu este rațional.
Numerele iraționale merită o atenție deosebită. Ele nu formează o mulțime situată între \(\mathbb{Q}\) și \(\mathbb{R}\), ci constituie partea numerelor reale care nu aparține lui \(\mathbb{Q}\).
În simboluri, mulțimea numerelor iraționale este
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]
Orice număr real este, așadar, rațional sau irațional. Cele două posibilități se exclud reciproc:
\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]
În plus, reuniunea lor redă întreaga mulțime a numerelor reale:
\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]
În concluzie, mulțimile numerice nu sunt separate între ele în mod independent: sunt organizate după relații de incluziune. Înțelegerea acestor relații permite să se stabilească cu precizie cărei mulțimi îi aparține un număr și ce proprietăți pot fi folosite atunci când se lucrează cu el.
Reprezentarea zecimală a numerelor reale
Orice număr real poate fi scris sub formă zecimală. Reprezentarea zecimală descrie un număr printr-o parte întreagă și o parte zecimală, separate prin virgulă.
De exemplu,
\[ \frac{1}{2}=0{,}5, \qquad \frac{1}{4}=0{,}25, \qquad \frac{1}{3}=0{,}333\dots \]
Forma zecimală permite să se distingă în mod simplu numerele raționale de numerele iraționale.
Numere zecimale finite
Un număr zecimal se numește finit dacă, după virgulă, are un număr finit de cifre. De exemplu,
\[ 0{,}5, \qquad 1{,}25, \qquad -3{,}75 \]
sunt numere zecimale finite.
Orice număr zecimal finit este rațional, deoarece poate fi scris ca fracție cu numitorul o putere a lui \(10\). Într-adevăr,
\[ 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, \qquad 1{,}25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}. \]
Numere zecimale periodice
Un număr zecimal se numește periodic dacă, începând de la un anumit punct, o cifră sau un grup de cifre se repetă la nesfârșit.
De exemplu,
\[ 0{,}333\dots \]
este periodic, deoarece cifra \(3\) se repetă fără sfârșit. De asemenea,
\[ 1{,}272727\dots \]
este periodic, deoarece grupul de cifre \(27\) se repetă la nesfârșit.
Numerele zecimale periodice sunt raționale. De exemplu,
\[ 0{,}333\dots=\frac{1}{3}, \qquad 1{,}272727\dots=\frac{14}{11}. \]
În general, un număr este rațional dacă și numai dacă reprezentarea sa zecimală este finită sau periodică.
Numere zecimale infinite neperiodice
Un număr zecimal se numește infinit neperiodic dacă are o infinitate de cifre după virgulă și, începând de la niciun punct, partea sa zecimală nu devine periodică.
Numerele zecimale infinite neperiodice sunt iraționale. De exemplu,
\[ \sqrt{2}=1{,}414213562\dots \]
și
\[ \pi=3{,}141592653\dots \]
sunt numere iraționale: reprezentarea lor zecimală nu se termină și nu devine periodică.
Putem, așadar, rezuma situația în felul următor:
- numerele zecimale finite sunt raționale;
- numerele zecimale periodice sunt raționale;
- numerele zecimale infinite neperiodice sunt iraționale.
Această distincție este foarte utilă pentru a recunoaște natura unui număr. De exemplu,
\[ 0{,}75=\frac{3}{4} \]
este rațional, în timp ce
\[ \sqrt{3}=1{,}732050807\dots \]
este irațional.
Unele numere reale admit două reprezentări zecimale. De exemplu,
\[ 1=0{,}999\dots \]
Această particularitate nu schimbă clasificarea precedentă, dar arată că scrierea zecimală trebuie interpretată cu atenție.
Schemă recapitulativă
Rezumăm acum caracteristicile principale ale mulțimilor numerice studiate.
| Mulțime | Simbol | Descriere | Exemple |
|---|---|---|---|
| Numere naturale | \(\mathbb{N}\) | Numere folosite pentru a număra și a ordona | \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\dots\) |
| Numere întregi | \(\mathbb{Z}\) | Numere naturale și opușii lor | \(\dots,-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\dots\) |
| Numere raționale | \(\mathbb{Q}\) | Numere care se pot scrie ca raport de doi întregi, cu numitor diferit de zero | \(\displaystyle \frac{1}{2},\ \displaystyle -\frac{3}{5},\ 4\) |
| Numere iraționale | \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) | Numere reale care nu se pot scrie ca raport de doi întregi | \(\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \pi\) |
| Numere reale | \(\mathbb{R}\) | Numere raționale și numere iraționale | \(-2,\ 0,\ \displaystyle \frac{1}{2},\ \sqrt{2},\ \pi\) |
Incluziunile fundamentale dintre mulțimile numerice sunt:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]
Aceasta înseamnă că orice număr natural este și întreg, orice număr întreg este și rațional, iar orice număr rațional este și real.
Numerele iraționale, în schimb, nu aparțin lui \(\mathbb{Q}\), dar aparțin lui \(\mathbb{R}\). În simboluri:
\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) \quad\text{și}\quad \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]
Mulțimile numerice permit, așadar, organizarea numerelor în mod progresiv. Fiecare extindere conservă numerele deja introduse și face posibilă reprezentarea unor cantități noi sau efectuarea unor operații care înainte nu erau întotdeauna posibile.