Mulțimile deschise și mulțimile închise sunt concepte fundamentale ale analizei matematice. Ele permit descrierea riguroasă a structurii mulțimilor de numere reale și joacă un rol central în studiul limitelor, al continuității și al convergenței.
În secțiunile care urmează vom introduce definițiile mulțimii deschise și ale mulțimii închise, le vom studia proprietățile fundamentale și vom vedea în ce mod aceste concepte se leagă de punctele de acumulare.
Cuprins
- Definiția mulțimii deschise
- Exemple de mulțimi deschise
- Definiția mulțimii închise
- Exemple de mulțimi închise
- Relația dintre mulțimile deschise și cele închise
- Caracterizare prin punctele de acumulare
- Proprietățile mulțimilor deschise
- Proprietățile mulțimilor închise
Definiția mulțimii deschise
Noțiunea de mulțime deschisă se bazează pe conceptul de vecinătate. Fie \(A\subseteq\mathbb R\). Spunem că \(A\) este o mulțime deschisă dacă, pentru orice punct \(x_0\in A\), există un număr real \(r>0\) astfel încât
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Cu alte cuvinte, o mulțime este deschisă dacă fiecare dintre punctele sale posedă cel puțin o vecinătate complet conținută în mulțime.
Este important de observat că raza \(r\) poate depinde de punctul ales. Nu este deci necesar să existe o unică valoare a lui \(r\) valabilă pentru toate punctele mulțimii; ceea ce contează este ca, fixat arbitrar un punct \(x_0\in A\), să existe cel puțin o vecinătate centrată în \(x_0\) conținută în \(A\).
Definiția poate fi exprimată și cu ajutorul cuantificatorilor:
\[ A \text{ deschisă} \iff \forall x_0\in A\ \exists r>0 \text{ astfel încât } (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Să vedem două exemple imediate.
Considerăm intervalul deschis
\[ A=(0,1). \]
Fie \(x_0\in(0,1)\). Deoarece \(x_0\) este strict cuprins între \(0\) și \(1\), cantitățile
\[ x_0 \qquad\text{și}\qquad 1-x_0 \]
sunt ambele pozitive. Putem astfel alege
\[ r=\frac12\min\{x_0,1-x_0\}. \]
Cu această alegere rezultă
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(0,1). \]
Întrucât punctul \(x_0\) a fost arbitrar, intervalul \((0,1)\) este o mulțime deschisă.
Considerăm acum mulțimea
\[ B=[0,1]. \]
Această mulțime nu este deschisă. Într-adevăr, punctul \(0\) aparține lui \(B\), dar nicio vecinătate a lui \(0\) nu este conținută în \(B\).
De fapt, pentru orice \(r>0\), vecinătatea
\[ (-r,r) \]
conține numere negative, care nu aparțin lui \(B\). În consecință, nu există nicio rază \(r>0\) astfel încât
\[ (-r,r)\subseteq[0,1]. \]
Prin urmare, mulțimea \([0,1]\) nu este deschisă.
Exemple de mulțimi deschise
Definiția mulțimii deschise poate fi aplicată numeroaselor mulțimi ale dreptei reale. În această secțiune vom analiza câteva dintre cele mai importante exemple.
Intervale deschise
Considerăm un interval deschis
\[ A=(a,b), \qquad a<b. \]
Vrem să arătăm că \(A\) este o mulțime deschisă. Fie \(x_0\in(a,b)\). Deoarece \(x_0\) este strict cuprins între \(a\) și \(b\), cantitățile
\[ x_0-a \qquad\text{și}\qquad b-x_0 \]
sunt ambele pozitive. Punem
\[ r=\frac12\min\{x_0-a,\; b-x_0\}. \]
Atunci \(r>0\) și vecinătatea
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
rămâne în întregime conținută în intervalul \((a,b)\). Prin urmare, fiecare punct al intervalului posedă o vecinătate conținută în mulțime și, așadar, \((a,b)\) este o mulțime deschisă.
Semidrepte deschise
Considerăm acum semidreapta
\[ A=(a,+\infty). \]
Fie \(x_0\in A\). Atunci \(x_0>a\), astfel încât distanța dintre \(x_0\) și punctul \(a\) este pozitivă. Alegând
\[ r=\frac{x_0-a}{2}, \]
se obține \(r>0\) și
\[ x_0-r = \frac{x_0+a}{2} > a. \]
De aici rezultă că
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(a,+\infty). \]
Prin urmare, și \((a,+\infty)\) este o mulțime deschisă.
Printr-un raționament cu totul analog se demonstrează că și semidreapta
\[ (-\infty,b) \]
este o mulțime deschisă.
Mulțimea \(\mathbb R\)
Întreaga dreaptă reală este, de asemenea, o mulțime deschisă. Într-adevăr, fixat arbitrar un punct \(x_0\in\mathbb R\), orice vecinătate de forma
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0, \]
este conținută în \(\mathbb R\). În consecință, \(\mathbb R\) satisface definiția mulțimii deschise.
Mulțimea vidă
Și mulțimea vidă
\[ \varnothing \]
este considerată o mulțime deschisă. Într-adevăr, definiția cere ca fiecare punct al mulțimii să posede o vecinătate conținută în mulțime. Deoarece mulțimea vidă nu conține niciun punct, această condiție este automat satisfăcută.
Din acest motiv, \(\varnothing\) și \(\mathbb R\) sunt întotdeauna mulțimi deschise.
Definiția mulțimii închise
Noțiunea de mulțime închisă este strâns legată de cea de mulțime deschisă. Fie \(A\subseteq\mathbb R\). Spunem că \(A\) este o mulțime închisă dacă complementara sa
\[ \mathbb R\setminus A \]
este o mulțime deschisă.
În simboluri:
\[ A \text{ închisă} \iff \mathbb R\setminus A \text{ deschisă}. \]
Pentru a verifica dacă o mulțime este închisă nu este deci necesar să se lucreze direct asupra mulțimii înseși; adesea este mai simplu să se studieze complementara sa și să se verifice că este deschisă.
Să considerăm, de exemplu, intervalul
\[ [0,1]. \]
Complementara sa este
\[ \mathbb R\setminus[0,1] = (-\infty,0)\cup(1,+\infty). \]
Ambele semidrepte sunt deschise și, după cum vom vedea mai departe, reuniunea a două mulțimi deschise este tot o mulțime deschisă. În consecință, \(\mathbb R\setminus[0,1]\) este deschisă și, prin urmare, \([0,1]\) este o mulțime închisă.
Să considerăm acum intervalul
\[ (0,1). \]
Complementara sa este
\[ \mathbb R\setminus(0,1) = (-\infty,0]\cup[1,+\infty). \]
Această mulțime nu este deschisă, deoarece nici punctul \(0\), nici punctul \(1\) nu posedă o vecinătate complet conținută în complementară.
Prin urmare, \((0,1)\) nu este o mulțime închisă.
În secțiunile următoare vom vedea o caracterizare deosebit de importantă a mulțimilor închise, bazată pe punctele de acumulare.
Exemple de mulțimi închise
În mod analog cu ceea ce am făcut pentru mulțimile deschise, să analizăm acum câteva exemple semnificative de mulțimi închise.
Intervale închise
Considerăm intervalul
\[ A=[a,b], \qquad a<b. \]
Pentru a stabili că \(A\) este închisă este suficient să studiem complementara sa:
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,a)\cup(b,+\infty). \]
Cele două semidrepte \((-\infty,a)\) și \((b,+\infty)\) sunt deschise. În plus, după cum vom vedea mai departe, reuniunea de mulțimi deschise este tot o mulțime deschisă.
Prin urmare, \(\mathbb R\setminus A\) este deschisă și, așadar, \([a,b]\) este o mulțime închisă.
Semidrepte închise
Considerăm semidreapta
\[ [a,+\infty). \]
Complementara sa este
\[ \mathbb R\setminus[a,+\infty) = (-\infty,a), \]
care este o mulțime deschisă.
În consecință, \([a,+\infty)\) este o mulțime închisă.
Prin același raționament se demonstrează că și semidreapta
\[ (-\infty,b] \]
este o mulțime închisă.
Mulțimi formate dintr-un număr finit de puncte
Considerăm o mulțime formată dintr-un singur punct:
\[ A=\{a\}. \]
Complementara sa este
\[ \mathbb R\setminus\{a\} = (-\infty,a)\cup(a,+\infty). \]
Fiind reuniunea a două mulțimi deschise, este deschisă. Prin urmare, \(\{a\}\) este o mulțime închisă.
Același raționament arată că orice mulțime formată dintr-un număr finit de puncte este o mulțime închisă.
Mulțimea \(\mathbb R\)
Întreaga dreaptă reală este o mulțime închisă.
Într-adevăr, complementara sa este mulțimea vidă:
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R = \varnothing. \]
Deoarece \(\varnothing\) este o mulțime deschisă, rezultă că \(\mathbb R\) este închisă.
Mulțimea vidă
Și mulțimea vidă este o mulțime închisă.
Într-adevăr,
\[ \mathbb R\setminus\varnothing = \mathbb R. \]
Deoarece \(\mathbb R\) este o mulțime deschisă, rezultă că \(\varnothing\) este închisă.
Am obținut astfel un rezultat interesant: atât \(\mathbb R\), cât și \(\varnothing\) sunt simultan deschise și închise.
Relația dintre mulțimile deschise și cele închise
Mulțimile deschise și mulțimile închise se definesc unele prin altele: o mulțime este închisă dacă și numai dacă complementara sa este deschisă. Nu trebuie însă să credem că termenii „deschis” și „închis” ar fi neapărat opuși în sensul limbajului comun.
Într-adevăr, o mulțime deschisă poate să nu fie închisă, o mulțime închisă poate să nu fie deschisă, dar există și mulțimi care sunt simultan deschise și închise.
Mulțimi deschise dar nu închise
Intervalul
\[ (0,1) \]
este o mulțime deschisă, după cum am demonstrat deja.
Totuși, nu este închisă, deoarece complementara sa
\[ (-\infty,0]\cup[1,+\infty) \]
nu este deschisă.
Prin urmare, \((0,1)\) este deschisă, dar nu închisă.
Mulțimi închise dar nu deschise
Considerăm intervalul
\[ [0,1]. \]
Am văzut că este închisă deoarece complementara sa
\[ (-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
este deschisă.
Pe de altă parte, \([0,1]\) nu este deschisă, deoarece nici punctul \(0\), nici punctul \(1\) nu posedă o vecinătate complet conținută în mulțime.
Prin urmare, \([0,1]\) este închisă, dar nu deschisă.
Mulțimi simultan deschise și închise
Am observat deja că mulțimea vidă \(\varnothing\) este deschisă și că complementara sa \(\mathbb R\) este deschisă. În consecință, \(\varnothing\) este și închisă.
În mod analog, \(\mathbb R\) este deschisă și complementara sa \(\varnothing\) este deschisă; prin urmare, \(\mathbb R\) este și închisă.
Mulțimile
\[ \varnothing \qquad\text{și}\qquad \mathbb R \]
sunt așadar simultan deschise și închise.
Mulțimi nici deschise, nici închise
Există, în fine, mulțimi care nu sunt nici deschise, nici închise.
Un exemplu este intervalul
\[ (0,1]. \]
Nu este deschisă, deoarece punctul \(1\) nu posedă nicio vecinătate complet conținută în mulțime.
În plus, nu este închisă, deoarece complementara sa
\[ (-\infty,0]\cup(1,+\infty) \]
nu este deschisă.
Prin urmare, \((0,1]\) nu este nici deschisă, nici închisă.
În concluzie, proprietățile de a fi deschisă și de a fi închisă sunt independente: o mulțime poate poseda doar una dintre cele două proprietăți, pe ambele sau niciuna.
Caracterizare prin punctele de acumulare
Una dintre cele mai importante caracterizări ale mulțimilor închise implică noțiunea de punct de acumulare. Ea permite să se recunoască dacă o mulțime este închisă observând exclusiv poziția punctelor sale de acumulare.
Reamintim că un punct \(x_0\in\mathbb R\) se numește punct de acumulare al unei mulțimi \(A\subseteq\mathbb R\) dacă orice vecinătate punctată a lui \(x_0\) conține cel puțin un punct din \(A\).
Are loc atunci următoarea teoremă fundamentală.
Teoremă. O mulțime \(A\subseteq\mathbb R\) este închisă dacă și numai dacă conține toate punctele sale de acumulare.
În simboluri:
\[ A \text{ închisă} \iff A'\subseteq A, \]
unde \(A'\) denotă mulțimea derivată a lui \(A\), adică mulțimea tuturor punctelor de acumulare ale lui \(A\).
Demonstrație. Să presupunem mai întâi că \(A\) este închisă și fie \(x_0\in A'\). Vrem să demonstrăm că \(x_0\in A\).
Procedăm prin reducere la absurd și presupunem că \(x_0\notin A\).
Deoarece \(A\) este închisă, complementara \(\mathbb R\setminus A\) este deschisă. Întrucât \(x_0\in\mathbb R\setminus A\), există o vecinătate
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq \mathbb R\setminus A. \]
Această vecinătate nu conține niciun punct al lui \(A\), în contradicție cu faptul că \(x_0\) este un punct de acumulare al lui \(A\).
Prin urmare, trebuie să avem \(x_0\in A\) și, așadar,
\[ A'\subseteq A. \]
Să demonstrăm acum reciproca. Presupunem că
\[ A'\subseteq A \]
și considerăm un punct
\[ x_0\in\mathbb R\setminus A. \]
Deoarece \(x_0\notin A\) și toate punctele de acumulare aparțin lui \(A\), punctul \(x_0\) nu poate fi un punct de acumulare al lui \(A\).
Prin definiția punctului de acumulare, există atunci o rază \(r>0\) astfel încât vecinătatea punctată
\[ (x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\} \]
nu conține puncte ale lui \(A\).
Deoarece, în plus, \(x_0\notin A\), rezultă că întregul interval
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
este conținut în complementara \(\mathbb R\setminus A\).
Am arătat astfel că fiecare punct al lui \(\mathbb R\setminus A\) posedă o vecinătate conținută în complementară. În consecință, \(\mathbb R\setminus A\) este deschisă.
Prin urmare, \(A\) este închisă.
Interpretare geometrică
Teorema afirmă că o mulțime este închisă atunci când nu „lasă în afară” niciunul dintre punctele sale de acumulare.
De exemplu, intervalul
\[ [0,1] \]
conține toate punctele sale de acumulare și, prin urmare, este închis.
Dimpotrivă, intervalul
\[ (0,1) \]
nu conține punctele de acumulare \(0\) și \(1\). În consecință, nu este închis.
Această caracterizare este adesea cea mai simplă metodă pentru a stabili dacă o mulțime este închisă.
Proprietățile mulțimilor deschise
Mulțimile deschise se bucură de importante proprietăți de stabilitate care permit construirea de noi mulțimi deschise pornind de la mulțimi deschise deja cunoscute.
În particular, reuniunea arbitrară de mulțimi deschise este tot o mulțime deschisă, în timp ce intersecția unui număr finit de mulțimi deschise este tot o mulțime deschisă.
Reuniunea mulțimilor deschise
Fie \(\{A_i\}_{i\in I}\) o familie de mulțimi deschise. Atunci
\[ \bigcup_{i\in I}A_i \]
este o mulțime deschisă.
Demonstrație. Punem
\[ A=\bigcup_{i\in I}A_i \]
și fie \(x_0\in A\).
Prin definiția reuniunii, există cel puțin un indice \(j\in I\) astfel încât
\[ x_0\in A_j. \]
Deoarece \(A_j\) este deschisă, există o rază \(r>0\) astfel încât
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A_j. \]
Întrucât \(A_j\subseteq A\), rezultă că
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Am arătat astfel că fiecare punct al lui \(A\) posedă o vecinătate conținută în \(A\). Prin urmare, \(A\) este deschisă.
Intersecția finită de mulțimi deschise
Fie \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) mulțimi deschise. Atunci
\[ A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
este o mulțime deschisă.
Demonstrație. Punem
\[ A=A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
și fie \(x_0\in A\).
Atunci
\[ x_0\in A_1,\quad x_0\in A_2,\quad \ldots,\quad x_0\in A_n. \]
Deoarece fiecare mulțime este deschisă, există raze pozitive
\[ r_1,r_2,\ldots,r_n \]
astfel încât
\[ (x_0-r_k,x_0+r_k)\subseteq A_k, \qquad k=1,\ldots,n. \]
Punem
\[ r=\min\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}. \]
Atunci \(r>0\) și
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n. \]
Prin urmare, \(A\) este deschisă.
De ce intersecția infinită poate să nu fie deschisă?
Proprietatea precedentă nu poate fi extinsă la intersecții infinite.
Să considerăm într-adevăr familia de intervale deschise
\[ A_n= \left( -\frac1n, \frac1n \right), \qquad n\in\mathbb N. \]
Fiecare \(A_n\) este deschisă.
Totuși,
\[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \{0\}. \]
Mulțimea \(\{0\}\) nu este deschisă, deoarece nicio vecinătate a lui \(0\) nu este conținută în \(\{0\}\).
Acest exemplu arată că intersecția unei familii infinite de mulțimi deschise poate să nu fie deschisă.
Pe scurt:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{Reuniunea arbitrară de mulțimi deschise este deschisă;}\\[4pt] &\text{intersecția finită de mulțimi deschise este deschisă.} \end{aligned} } \]
Proprietățile mulțimilor închise
Proprietățile mulțimilor închise sunt duale față de cele ale mulțimilor deschise. În particular, intersecția arbitrară de mulțimi închise este tot o mulțime închisă, în timp ce reuniunea unui număr finit de mulțimi închise este tot o mulțime închisă.
Intersecția arbitrară de mulțimi închise
Fie \(\{A_i\}_{i\in I}\) o familie de mulțimi închise. Atunci
\[ \bigcap_{i\in I}A_i \]
este o mulțime închisă.
Demonstrație. Punem
\[ A=\bigcap_{i\in I}A_i. \]
Folosind legile lui De Morgan, obținem
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( \bigcap_{i\in I}A_i \right) = \bigcup_{i\in I} \left( \mathbb R\setminus A_i \right). \]
Deoarece fiecare mulțime \(A_i\) este închisă, complementara \(\mathbb R\setminus A_i\) este deschisă.
În plus, reuniunea arbitrară de mulțimi deschise este deschisă.
Prin urmare, \(\mathbb R\setminus A\) este deschisă și, așadar, \(A\) este închisă.
Reuniunea finită de mulțimi închise
Fie \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) mulțimi închise. Atunci
\[ A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \]
este o mulțime închisă.
Demonstrație. Punem
\[ A=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n. \]
Aplicând din nou legile lui De Morgan, obținem
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \right) = (\mathbb R\setminus A_1) \cap (\mathbb R\setminus A_2) \cap \cdots \cap (\mathbb R\setminus A_n). \]
Deoarece fiecare complementară \(\mathbb R\setminus A_k\) este deschisă și intersecția finită de mulțimi deschise este deschisă, rezultă că \(\mathbb R\setminus A\) este deschisă.
Prin urmare, \(A\) este închisă.
De ce reuniunea infinită poate să nu fie închisă?
Proprietatea precedentă nu poate fi extinsă la reuniuni infinite.
Să considerăm într-adevăr mulțimile
\[ A_n= \left[ \frac1n, 1 \right], \qquad n\in\mathbb N. \]
Fiecare \(A_n\) este un interval închis.
Reuniunea lor este
\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ \frac1n, 1 \right] = (0,1]. \]
Mulțimea \((0,1]\) nu este închisă, deoarece punctul \(0\) este un punct de acumulare care nu aparține mulțimii.
Acest exemplu arată că reuniunea unei familii infinite de mulțimi închise poate să nu fie închisă.
Pe scurt:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{Intersecția arbitrară de mulțimi închise este închisă;}\\[4pt] &\text{reuniunea finită de mulțimi închise este închisă.} \end{aligned} } \]