Puncte de Acumulare și Puncte Izolate: Definiții, Proprietăți și Exemple

Punct de acumulare

Fie \( A\subseteq\mathbb R \). Un punct \( x_0\in\mathbb R \) se numește punct de acumulare al lui \( A \) dacă orice vecinătate a lui \( x_0 \) conține cel puțin un element al lui \( A \) diferit de \( x_0 \).

În mod echivalent,

\[ \forall r>0, \qquad \Bigl((x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\}\Bigr)\cap A \neq\varnothing. \]

Cu alte cuvinte, oricât de mult am restrânge vecinătatea centrată în \( x_0 \), se găsesc întotdeauna puncte ale lui \( A \) arbitrar de apropiate de \( x_0 \).

Este important de observat că \( x_0 \) nu trebuie neapărat să aparțină mulțimii \( A \). Definiția cere doar ca în vecinătatea sa să existe elemente ale lui \( A \) diferite de \( x_0 \).

Mai mult, orice vecinătate a unui punct de acumulare conține în mod necesar o infinitate de puncte ale mulțimii diferite de \( x_0 \). Într-adevăr, dacă o anumită vecinătate ar conține doar un număr finit dintre ele, ar fi posibil să construim o vecinătate mai mică care să le excludă pe toate, în contradicție cu definiția.

În particular, nicio mulțime finită nu poate avea puncte de acumulare.

Din punct de vedere geometric, un punct de acumulare este un punct în jurul căruia mulțimea se aglomerează. Dacă ne-am imagina că efectuăm măriri succesive ale dreptei reale în apropierea lui \( x_0 \), am continua mereu să observăm elemente ale mulțimii arbitrar de apropiate de acel punct.

Un punct de acumulare poate să aparțină sau să nu aparțină mulțimii. De exemplu, dacă \( A=(0,1) \), punctul \( \displaystyle \frac12 \) aparține lui \( A \) și este un punct de acumulare. Și punctele \( 0 \) și \( 1 \) sunt puncte de acumulare, deși nu aparțin mulțimii, deoarece orice vecinătate a fiecăruia dintre ele conține elemente ale lui \( A \).

Punct izolat

Fie \( A\subseteq\mathbb R \). Un punct \( x_0\in A \) se numește punct izolat al lui \( A \) dacă există o vecinătate a lui \( x_0 \) care nu conține niciun alt element al mulțimii.

În simboluri,

\[ \exists r>0 \quad\text{astfel încât}\quad (x_0-r,x_0+r)\cap A=\{x_0\}. \]

Aceasta înseamnă că \( x_0 \) este separat de celelalte elemente ale lui \( A \) printr-o distanță pozitivă. Într-o vecinătate suficient de mică a lui \( x_0 \), singurul punct al mulțimii prezent este chiar \( x_0 \).

Din punct de vedere geometric, un punct izolat poate fi gândit ca un element „solitar” al mulțimii, înconjurat de o regiune a dreptei reale lipsită de alte puncte aparținând lui \( A \).

Noțiunile de punct izolat și punct de acumulare sunt strâns legate. Dacă \( x_0\in A \), atunci se realizează exact una dintre următoarele posibilități:

• \( x_0 \) este un punct izolat;
• \( x_0 \) este un punct de acumulare.

Cele două proprietăți sunt incompatibile. Într-adevăr, dacă există o vecinătate care conține doar \( x_0 \), atunci \( x_0 \) nu poate fi un punct de acumulare. Reciproc, dacă \( x_0 \) este un punct de acumulare, orice vecinătate a sa conține o infinitate de puncte ale mulțimii diferite de \( x_0 \), astfel încât \( x_0 \) nu poate fi izolat.

Comparație între punctele izolate și punctele de acumulare

Aceeași mulțime poate conține atât puncte izolate, cât și puncte de acumulare. De exemplu, în mulțimea

\[ \left\{0\right\} \cup \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]

punctul \(0\) este un punct de acumulare, în timp ce toate punctele de forma \( \displaystyle \frac1n \) sunt izolate.

Exemple fundamentale

Să considerăm câteva exemple fundamentale, utile pentru a distinge cu precizie punctele de acumulare de punctele izolate.

Intervale

Fie \( A=(0,1) \). Orice punct din \( (0,1) \) este un punct de acumulare al lui \( A \), deoarece orice vecinătate a sa conține o infinitate de puncte ale intervalului. De asemenea, \(0\) și \(1\) sunt puncte de acumulare, deși nu aparțin lui \(A\). Într-adevăr, orice vecinătate a lui \(0\) conține puncte pozitive mai mici decât \(1\), în timp ce orice vecinătate a lui \(1\) conține puncte ale intervalului mai mici decât \(1\).

Așadar, mulțimea punctelor de acumulare ale lui \( (0,1) \) este

\[ [0,1]. \]

Mulțimi finite și mulțimi discrete

Dacă \( A=\{1,3,7\} \), atunci toate elementele lui \(A\) sunt puncte izolate. De exemplu, în jurul punctului \(3\) se poate alege un interval suficient de mic care să nu conțină nici pe \(1\), nici pe \(7\). Mai general, orice mulțime finită de numere reale este formată numai din puncte izolate și nu posedă puncte de acumulare.

Și mulțimea numerelor întregi \( \mathbb Z \) este formată numai din puncte izolate. Într-adevăr, pentru orice \( n\in\mathbb Z \), vecinătatea

\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]

conține ca unic număr întreg punctul \(n\). Prin urmare, orice număr întreg este izolat, iar \( \mathbb Z \) nu are puncte de acumulare în \( \mathbb R \).

O mulțime cu puncte izolate și un punct de acumulare

Să considerăm mulțimea

\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]

Orice punct de forma \(\displaystyle \frac1n \) este izolat. Într-adevăr, fixând o valoare a lui \(n\), se poate alege o vecinătate suficient de mică a lui \( \displaystyle \frac1n \) care să nu conțină niciun alt element al șirului \(1,\displaystyle\frac12,\displaystyle\frac13,\ldots\).

Cu toate acestea, \(0\) este un punct de acumulare al lui \(A\). Într-adevăr, pentru orice \(r>0\) există \(n\in\mathbb N\) suficient de mare astfel încât

\[ 0<\frac1n<r. \]

Prin urmare, orice vecinătate a lui \(0\) conține elemente ale lui \(A\) diferite de \(0\). Să observăm că \(0\notin A\): aceasta arată că un punct de acumulare nu trebuie neapărat să aparțină mulțimii.

Dacă, în schimb, considerăm

\[ B=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]

punctul \(0\) rămâne un punct de acumulare, dar acum aparține și mulțimii \(B\). Punctele \( \displaystyle\frac1n \), în schimb, rămân puncte izolate.

Numerele raționale

Să considerăm mulțimea numerelor raționale \( \mathbb Q \). Datorită densității raționalelor în \( \mathbb R \), între două numere reale distincte există întotdeauna o infinitate de numere raționale. În consecință, orice vecinătate a unui punct oarecare al dreptei reale conține o infinitate de elemente ale lui \( \mathbb Q \).

Prin urmare, orice număr real este un punct de acumulare al lui \( \mathbb Q \), adică

\[ \mathbb Q' = \mathbb R. \]

În plus, \( \mathbb Q \) nu posedă niciun punct izolat. Acest exemplu arată în mod remarcabil că o mulțime poate avea puncte de acumulare în fiecare punct al dreptei reale, fără a fi un interval și fiind, de fapt, total neconexă.

Caracterizare prin șiruri

Punctele de acumulare pot fi caracterizate cu ajutorul șirurilor. Acest rezultat este deosebit de important, deoarece permite traducerea unei proprietăți geometrice a mulțimilor într-o proprietate de convergență.

Teoremă. Fie \( A\subseteq\mathbb R \) și fie \( x_0\in\mathbb R \). Atunci \( x_0 \) este un punct de acumulare al lui \( A \) dacă și numai dacă există un șir \( (x_n) \subseteq A\setminus\{x_0\} \) astfel încât

\[ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0. \]

Demonstrație. Să presupunem că \( x_0 \) este un punct de acumulare al lui \( A \). Pentru orice \( n\in\mathbb N \), vecinătatea

\[ \left(x_0-\frac1n,x_0+\frac1n\right) \]

conține cel puțin un punct \( x_n\in A\setminus\{x_0\} \). Rezultă că

\[ 0<|x_n-x_0|<\frac1n. \]

Deoarece \( \displaystyle \frac1n\to0 \), din teorema cleștelui obținem \( x_n\to x_0 \).

Reciproc, să presupunem că există un șir \( (x_n)\subseteq A\setminus\{x_0\} \) astfel încât \( x_n\to x_0 \). Fie \( r>0 \). Din definiția limitei există \( N\in\mathbb N \) astfel încât

\[ n\ge N \quad\Longrightarrow\quad |x_n-x_0|<r. \]

În particular, \( x_N\in(x_0-r,x_0+r) \), cu \( x_N\in A \) și \( x_N\neq x_0 \). Prin urmare, orice vecinătate a lui \( x_0 \) conține un element al lui \( A \) diferit de \( x_0 \), deci \( x_0 \) este un punct de acumulare al lui \( A \).

Această caracterizare constituie una dintre principalele legături între teoria mulțimilor și studiul șirurilor.

Mulțime derivată și mulțimi închise

Mulțimea tuturor punctelor de acumulare ale unei mulțimi \( A \subseteq \mathbb R \) poartă numele de mulțime derivată a lui \( A \) și se notează cu \( A' \).

În simboluri,

\[ A'=\{x\in\mathbb R : x \text{ este punct de acumulare al lui } A\}. \]

Mulțimea derivată descrie comportamentul lui \( A \) în vecinătatea sa și reunește toate punctele în jurul cărora mulțimea se aglomerează.

Să observăm că punctele lui \( A' \) nu trebuie neapărat să aparțină lui \( A \). De exemplu, dacă \( A=(0,1) \), atunci \( 0 \) și \( 1 \) aparțin lui \( A' \) deși nu aparțin mulțimii.

Să vedem câteva exemple.

• Dacă \( A=(0,1) \), atunci \[ A'=[0,1]. \]
• Dacă \( A=\mathbb Z \), atunci \[ A'=\varnothing, \] deoarece orice număr întreg este un punct izolat.
• Dacă \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \] atunci \[ A'=\{0\}. \]

Conceptul de mulțime derivată permite caracterizarea simplă a mulțimilor închise.

Teoremă. O mulțime \( A\subseteq\mathbb R \) este închisă dacă și numai dacă conține toate punctele sale de acumulare.

În mod echivalent,

\[ A \text{ este închisă} \quad\Longleftrightarrow\quad A'\subseteq A. \]

Cu alte cuvinte, o mulțime este închisă atunci când nu „pierde” niciun punct către care elementele sale se pot acumula.

De exemplu, intervalul închis \( [0,1] \) conține toate punctele sale de acumulare și, prin urmare, este o mulțime închisă. Dimpotrivă,

\[ (0,1) \]

nu este închis, deoarece punctele \(0\) și \(1\) sunt puncte de acumulare, dar nu aparțin mulțimii.

Punctele de acumulare au un rol fundamental în analiza matematică. Una dintre cele mai importante teoreme ale analizei reale, teorema Bolzano-Weierstrass, afirmă într-adevăr că orice submulțime infinită și mărginită a lui \( \mathbb R \) posedă cel puțin un punct de acumulare.

Acest rezultat subliniază faptul că prezența punctelor de acumulare este o proprietate intrinsecă a mulțimilor infinite mărginite și constituie unul dintre pilonii analizei matematice.