Teorema lui Lagrange, cunoscut și sub numele de teorema valorii medii, este unul dintre rezultatele fundamentale ale analizei matematice. Acesta afirmă că, dacă o funcție este continuă pe un interval închis \( [a,b] \) și derivabilă pe intervalul deschis \( (a,b) \), atunci există cel puțin un punct în care derivata funcției coincide cu raportul incremental calculat între extremitățile intervalului. Demonstrația se bazează pe Teorema lui Rolle și pe construirea unei funcții auxiliare.
Cuprins
Teorema lui Lagrange (sau Teorema Valorii Medii)
Fie \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continuă pe \([a,b]\) și derivabilă în fiecare punct din \( (a,b) \). Atunci există cel puțin un punct \( \xi \in (a,b) \) astfel încât:
\[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Demonstrație. Pentru a demonstra această teoremă, construim o funcție auxiliară \(F(x)\) care ne va permite să aplicăm Teorema lui Rolle. Definim:
\[ F(x) = f(x) - \left[f(a) + (x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right] \]
Funcția \(F(x)\) reprezintă diferența dintre \(f(x)\) și dreapta care trece prin punctele \((a,f(a))\) și \((b,f(b))\). Se verifică imediat că \(F(a) = F(b) = 0\). În plus, \(F\) este continuă pe \([a,b]\) și derivabilă pe \((a,b)\), moștenind aceste proprietăți de la funcția \(f\).
Aplicând Teorema lui Rolle funcției \(F\), există cel puțin un punct \(\xi \in (a,b)\) pentru care \(F'(\xi) = 0\). Calculând derivata lui \(F\), obținem:
\[ F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Prin urmare, condiția \(F'(\xi) = 0\) implică exact concluzia teoremei. Punctul \( \xi \) nu este neapărat unic.
Corolarele Teoremei lui Lagrange
Corolarul 1. Dacă o funcție are derivata nulă în fiecare punct al unui interval, atunci funcția este constantă pe acel interval.
Demonstrație. Fixăm un punct \(x_0\) din interval. Pentru orice alt punct \(x\), aplicând teorema lui Lagrange pe intervalul \([x_0,x]\), obținem:
\[ f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0) = 0 \]
Prin urmare, \(f(x) = f(x_0)\) pentru orice \(x\) din interval.
Corolarul 2. Dacă \(f\) este derivabilă pe un interval \(I\) și \(f'(x) \geq 0\) pentru orice \(x \in I\), atunci \(f\) este monoton crescătoare pe \(I\). În mod analog, dacă \(f'(x) \leq 0\), atunci \(f\) este monoton descrescătoare. Dacă \(f'(x) > 0\) pentru orice \(x \in I\), atunci \(f\) este strict crescătoare; dacă \(f'(x) < 0\), atunci \(f\) este strict descrescătoare.
Demonstrație. Fie două puncte arbitrare \(x_1 < x_2\) din \(I\). Teorema lui Lagrange ne spune că:
\[ f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \geq 0 \]
deoarece \(f'(\xi) \geq 0\) și \(x_2 - x_1 > 0\). Rezultă astfel că \(f(x_2) \geq f(x_1)\). Dacă \(f'(\xi) > 0\), atunci \(f(x_2) > f(x_1)\).
Corolarul 3. Dacă \(f\) este continuă pe \([a,b]\), derivabilă pe \((a,b)\) și \(m_1 \leq f'(x) \leq m_2\) pentru orice \(x \in (a,b)\), atunci:
\[ m_1(x - a) \leq f(x) - f(a) \leq m_2(x - a) \]
Demonstrație. Aplicând teorema lui Lagrange, știm că există un punct \(\xi\) între \(a\) și \(x\) astfel încât:
\[ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(\xi) \]
Iar deoarece \(m_1 \leq f'(\xi) \leq m_2\), concluzia urmează imediat.