Puterile constituie un instrument fundamental al algebrei: permit scrierea sub formă compactă a produselor repetate și stau la baza multor transformări algebrice.
În această pagină studiem principalele proprietăți ale puterilor, pornind de la cazul cel mai simplu al exponenților naturali pozitivi și ajungând apoi la exponenții zero, negativi și raționali, adică exponenți de forma \(\displaystyle \frac{p}{q}\).
Fie \(a\in\mathbb{R}\) și fie \(n\in\mathbb{N}^*\), unde
\[ \mathbb{N}^*=\{1,2,3,\dots\}. \]
Puterea a \(n\)-a a lui \(a\), notată prin simbolul \(a^n\), este definită drept produsul lui \(a\) cu sine însuși de \(n\) ori:
\[ a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ ori}}. \]
Numărul \(a\) se numește baza puterii, iar numărul \(n\) se numește exponentul puterii.
De exemplu,
\[ a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a. \]
Cuprins
- Proprietățile Puterilor cu Exponent Natural
- Puterea cu Exponent Zero
- Puteri cu Exponent Întreg Negativ
- Puteri cu Exponent Rațional
- Exemple privind Proprietățile Puterilor
Proprietățile Puterilor cu Exponent Natural
În această secțiune considerăm puteri cu exponent natural pozitiv. Fie \(a,b\in\mathbb{R}\) și fie \(m,n\in\mathbb{N}^*\). Proprietățile puterilor permit transformarea produselor, câturilor și puterilor compuse în forme mai simple.
Fiecare proprietate trebuie aplicată respectând condițiile de existență ale expresiilor implicate. În particular, atunci când apar câturi, numitorii trebuie să fie diferiți de zero.
Produsul puterilor cu aceeași bază
Produsul a două puteri cu aceeași bază este o putere având aceeași bază și, drept exponent, suma exponenților:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
Într-adevăr, prin definiția puterii,
\[ a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ ori}}, \qquad a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ ori}}. \]
Înmulțind cele două puteri, se obține un produs format din \(m+n\) factori, toți egali cu \(a\):
\[ a^m\cdot a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ ori}} = a^{m+n}. \]
Câtul puterilor cu aceeași bază
Dacă \(a\neq 0\) și \(m\geq n\), câtul a două puteri cu aceeași bază este o putere având aceeași bază și, drept exponent, diferența exponenților:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
Condiția \(a\neq 0\) este necesară deoarece \(a^n\) apare la numitor.
Pentru a justifica formula, să scriem cele două puteri ca produse repetate:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ ori}}} {\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ ori}}}. \]
Deoarece \(a\neq 0\), putem simplifica \(n\) factori egali de la numărător și de la numitor. Rămân \(m-n\) factori egali cu \(a\), prin urmare
\[ \frac{a^m}{a^n} = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m-n \text{ ori}} = a^{m-n}. \]
Cazul \(m<n\) necesită introducerea exponenților negativi și va fi interpretat corect în secțiunea consacrată acestora.
Puterea unei puteri
Puterea unei puteri este o putere având aceeași bază și, drept exponent, produsul exponenților:
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]
Într-adevăr, a ridica \(a^m\) la puterea \(n\) înseamnă a înmulți \(a^m\) cu sine însuși de \(n\) ori:
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m\cdot a^m\cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ ori}}. \]
Fiecare factor \(a^m\) conține \(m\) factori egali cu \(a\). Repetând acest bloc de \(n\) ori, obținem în total \(mn\) factori egali cu \(a\):
\[ (a^m)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{mn \text{ ori}} = a^{mn}. \]
Puterea unui produs
Puterea unui produs este produsul puterilor factorilor săi:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Într-adevăr,
\[ (ab)^n = \underbrace{(ab)\cdot(ab)\cdot \ldots \cdot(ab)}_{n \text{ ori}}. \]
Utilizând proprietățile comutativă și asociativă ale înmulțirii numerelor reale, putem grupa între ei toți factorii egali cu \(a\) și toți factorii egali cu \(b\):
\[ (ab)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ ori}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ ori}} = a^n b^n. \]
Puterea unui cât
Dacă \(b\neq 0\), puterea unui cât este câtul puterilor numărătorului și numitorului:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}. \]
Într-adevăr,
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot \ldots \cdot\frac{a}{b}}_{n \text{ ori}}. \]
Înmulțind între ei numărătorii și, separat, numitorii, obținem
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ ori}}} {\underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ ori}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Și în acest caz, condiția \(b\neq 0\) este esențială, deoarece câtul \(\displaystyle \frac{a}{b}\) trebuie să fie definit.
Puterea cu Exponent Zero
După ce am definit puterile cu exponent natural pozitiv, este firesc să ne întrebăm dacă se poate atribui un sens și unei puteri cu exponent zero.
Definiția lui \(a^0\) nu este aleasă în mod arbitrar: ea trebuie să fie compatibilă cu proprietățile puterilor deja stabilite pentru exponenții naturali pozitivi.
Fie \(a\neq 0\). Pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\), câtul
\[ \frac{a^n}{a^n} \]
este egal cu \(1\), deoarece numărătorul și numitorul sunt egali și diferiți de zero:
\[ \frac{a^n}{a^n}=1. \]
Pe de altă parte, dacă dorim să păstrăm proprietatea câtului puterilor cu aceeași bază, trebuie să avem
\[ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0. \]
Comparând cele două egalități, se vede că, pentru coerență, trebuie să punem
\[ a^0=1 \qquad \text{pentru orice } a\neq 0. \]
Condiția \(a\neq 0\) este esențială. Într-adevăr, dacă \(a=0\), câtul \(\displaystyle \frac{a^n}{a^n}\) devine \(\displaystyle \frac{0}{0}\), care nu este definit.
Din acest motiv, în cadrul proprietăților algebrice ale puterilor, expresia \(0^0\) nu este definită.
Definiția \(a^0=1\) permite ca proprietățile puterilor să rămână valabile chiar și atunci când apare exponentul zero. De exemplu, dacă \(a\neq 0\) și \(m\in\mathbb{N}^*\), atunci
\[ a^m\cdot a^0=a^m\cdot 1=a^m=a^{m+0}. \]
Puteri cu Exponent Întreg Negativ
După ce am introdus exponentul zero, putem extinde mai departe definiția puterii la exponenți întregi negativi.
Și în acest caz, definiția nu este arbitrară: ea este aleasă astfel încât proprietățile puterilor să rămână valabile chiar și atunci când exponenții nu mai sunt doar numere naturale.
Fie \(a\neq 0\) și fie \(n\in\mathbb{N}^*\). Puterea de bază \(a\) și exponent \(-n\) se definește punând
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Cu alte cuvinte, a ridica un număr nenul la un exponent negativ înseamnă a lua inversul puterii cu exponent pozitiv corespunzător.
Condiția \(a\neq 0\) este indispensabilă, deoarece inversul lui \(a^n\) este definit doar dacă \(a^n\neq 0\).
Motivul acestei definiții este următorul. Dacă dorim ca proprietatea produsului puterilor cu aceeași bază să rămână valabilă, trebuie să avem
\[ a^n\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0. \]
Deoarece \(a^0=1\), rezultă atunci că
\[ a^n\cdot a^{-n}=1. \]
Aceasta înseamnă tocmai că \(a^{-n}\) trebuie să fie inversul lui \(a^n\), adică
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Această definiție permite, de asemenea, să se interpreteze corect câtul puterilor cu aceeași bază în cazul în care exponentul numărătorului este mai mic decât cel al numitorului.
Într-adevăr, dacă \(a\neq 0\) și \(m,n\) sunt întregi nenegativi cu \(m<n\), atunci \(n-m>0\) și
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}. \]
Prin definiția exponentului negativ,
\[ \frac{1}{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}. \]
Deoarece
\[ -(n-m)=m-n, \]
obținem
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
În acest fel, proprietatea
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
rămâne valabilă chiar și atunci când \(m<n\), cu condiția ca \(a\neq 0\).
Mai general, dacă \(a\neq 0\), proprietățile puterilor se extind la exponenți întregi. De exemplu, pentru \(h,k\in\mathbb{Z}\), avem
\[ a^h\cdot a^k=a^{h+k}. \]
Puteri cu Exponent Rațional
După ce am definit puterile cu exponent întreg, putem extinde noțiunea de putere și la exponenți raționali.
În această secțiune considerăm în principal cazul \(a>0\), care este cadrul natural în care puterile cu exponent rațional se comportă în mod regulat și păstrează toate proprietățile fundamentale ale puterilor.
Fie \(a>0\) și fie \(q\in\mathbb{N}^*\). Puterea cu exponent \(\displaystyle \frac{1}{q}\) se definește punând
\[ a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}. \]
Această definiție este compatibilă cu proprietatea puterii unei puteri. Într-adevăr, dacă dorim ca egalitatea
\[ \left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q=a^{\frac{1}{q}\cdot q}=a \]
să rămână valabilă, atunci \(a^{\frac{1}{q}}\) trebuie să fie numărul pozitiv care, ridicat la puterea a \(q\)-a, îl redă pe \(a\). Prin definiție, acest număr este radicalul aritmetic de ordinul \(q\) al lui \(a\).
Mai general, dacă \(p\in\mathbb{Z}\) și \(q\in\mathbb{N}^*\), definim
\[ a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p. \]
Deoarece \(a>0\), avem și \(\sqrt[q]{a}>0\), astfel încât expresia este definită chiar și atunci când \(p\) este negativ.
În cazul \(a>0\), aceeași cantitate poate fi scrisă și sub forma
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. \]
Într-adevăr, pentru baze pozitive, puterile întregi și radicalii aritmetici considerați sunt totdeauna definiți, iar cele două scrieri
\[ \left(\sqrt[q]{a}\right)^p \qquad \text{și} \qquad \sqrt[q]{a^p} \]
reprezintă același număr.
De exemplu,
\[ 16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8. \]
Dacă \(p,q\in\mathbb{N}^*\), atunci exponentul \(-\frac{p}{q}\) este negativ și se folosește definiția puterii cu exponent negativ:
\[ a^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}, \qquad a>0. \]
De exemplu,
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}. \]
Cu această definiție, proprietățile puterilor se extind la exponenți raționali. Verificarea se obține scriind exponenții raționali ca fracții cu numitor comun și aplicând proprietățile deja stabilite pentru puteri și pentru radicali.
În particular, pentru \(a>0\) și pentru \(r,s\in\mathbb{Q}\), sunt valabile formulele
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}, \qquad \left(a^r\right)^s=a^{rs}. \]
Restricția \(a>0\) permite să se evite ambiguitățile și cazurile particulare legate de bazele nule sau negative. De exemplu, dacă \(a=0\), puterile cu exponent rațional pozitiv pot fi definite în numeroase cazuri, în timp ce cele cu exponent negativ nu sunt definite. Dacă, în schimb, \(a<0\), situația necesită distincții suplimentare, iar nu toate proprietățile rămân valabile fără condiții adiționale.
Extinderea puterilor la exponenți reali necesită instrumente mai avansate, legate de noțiunea de limită, și este tratată într-un cadru ulterior. În această pagină ne limităm la exponenți naturali, întregi și raționali.
Exemple privind Proprietățile Puterilor
Să vedem câteva exemple de aplicare a proprietăților puterilor. Exemplele arată cum se utilizează regulile în mod ordonat, distingând puterile cu aceeași bază, puterile produselor, puterile câturilor și puterile cu exponent negativ sau rațional.
Exemplul 1. Să se simplifice expresia
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4. \]
Să grupăm puterile cu aceeași bază și să adunăm exponenții:
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4 = a^{5+3}\cdot b^{2+4} = a^8b^6. \]
Prin urmare,
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4=a^8b^6. \]
Exemplul 2. Să se simplifice expresia
\[ (a^3b^2)^4. \]
Să aplicăm mai întâi proprietatea puterii unui produs, apoi proprietatea puterii unei puteri:
\[ (a^3b^2)^4 = (a^3)^4(b^2)^4 = a^{3\cdot 4}b^{2\cdot 4} = a^{12}b^8. \]
Așadar,
\[ (a^3b^2)^4=a^{12}b^8. \]
Exemplul 3. Să se simplifice expresia
\[ a^5\cdot a^0, \]
presupunând \(a\neq 0\). Deoarece \(a^0=1\), obținem
\[ a^5\cdot a^0=a^5\cdot 1=a^5. \]
Exemplul 4. Să se simplifice expresia
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}, \]
presupunând \(a\neq 0\) și \(b\neq 0\). Să separăm puterile cu aceeași bază:
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3} = \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3}. \]
Acum să scădem exponenții:
\[ \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3} = a^{6-2}b^{8-3} = a^4b^5. \]
Prin urmare,
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}=a^4b^5. \]
Exemplul 5. Să se simplifice expresia
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2, \]
cu \(a\neq 0\) și \(b\neq 0\). Să simplificăm mai întâi câtul din interiorul parantezelor:
\[ \frac{a^3b^5}{ab^2} = a^{3-1}b^{5-2} = a^2b^3. \]
Acum ridicăm la pătrat:
\[ \left(a^2b^3\right)^2 = (a^2)^2(b^3)^2 = a^4b^6. \]
Așadar,
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2=a^4b^6. \]
Exemplul 6. Să se simplifice expresia
\[ 8^{-\frac{2}{3}}. \]
Exponentul este rațional negativ. Să transformăm mai întâi puterea în inversul puterii cu exponent pozitiv:
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}. \]
Acum să folosim definiția puterii cu exponent rațional:
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]
Prin urmare,
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}. \]