În această secțiune propunem 20 de exerciții rezolvate despre punctele de acumulare, punctele izolate și mulțimea derivată. Exercițiile sunt ordonate după dificultate crescătoare și sunt concepute pentru a aplica, pas cu pas, definițiile studiate în teorie.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine punctele izolate și punctele de acumulare ale mulțimii
\[ A=\{2,5,9\}. \]
Rezultat
Toate punctele lui \(A\), adică \(2,5,9\), sunt puncte izolate. Mulțimea \(A\) nu are puncte de acumulare:
\[ A'=\varnothing. \]
Rezolvare
Mulțimea \(A\) conține doar trei puncte. Pentru a verifica faptul că fiecare dintre ele este izolat, trebuie să arătăm că în jurul fiecărui punct există o vecinătate care nu conține alte elemente ale lui \(A\).
Să considerăm, de exemplu, punctul \(2\). Distanța dintre \(2\) și cel mai apropiat element al lui \(A\), adică \(5\), este
\[ |5-2|=3. \]
Putem atunci alege, de pildă, vecinătatea
\[ \left(2-\frac12,2+\frac12\right). \]
Această vecinătate conține \(2\), dar nu conține nici \(5\), nici \(9\). Așadar, \(2\) este un punct izolat.
Prin același raționament, și \(5\), și \(9\) sunt puncte izolate. În plus, o mulțime finită de numere reale nu are puncte de acumulare, deoarece în jurul fiecăruia dintre elementele sale se poate construi o vecinătate suficient de mică ce îl separă de celelalte puncte ale mulțimii.
Prin urmare,
\[ A'=\varnothing. \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine punctele izolate și punctele de acumulare ale mulțimii
\[ A=(0,1). \]
Rezultat
Mulțimea \(A\) nu are puncte izolate. Punctele sale de acumulare sunt exact punctele intervalului închis:
\[ A'=[0,1]. \]
Rezolvare
Orice punct \(x_0\in(0,1)\) este punct de acumulare al lui \(A\). Într-adevăr, oricare ar fi \(r>0\), vecinătatea
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
conține o infinitate de puncte ale intervalului \((0,1)\) diferite de \(x_0\).
Și \(0\) este punct de acumulare. Într-adevăr, pentru orice \(r>0\), intervalul
\[ (-r,r) \]
conține puncte pozitive mai mici decât \(1\) și, prin urmare, conține elemente ale lui \(A\).
În mod analog, și \(1\) este punct de acumulare, deoarece orice vecinătate a lui \(1\) conține puncte mai mici decât \(1\) și mai mari decât \(0\).
Dacă, în schimb, \(x_0<0\) sau \(x_0>1\), putem alege o vecinătate a lui \(x_0\) suficient de mică încât să nu întâlnească intervalul \((0,1)\). Astfel de puncte nu sunt, așadar, puncte de acumulare.
Concluzionăm deci că
\[ A'=[0,1]. \]
Întrucât orice punct al lui \(A\) este punct de acumulare, niciun punct al lui \(A\) nu este izolat.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=[0,1]. \]
Rezultat
Mulțimea \(A\) nu are puncte izolate și
\[ A'=[0,1]. \]
Rezolvare
Să considerăm mai întâi un punct \(x_0\in(0,1)\). Orice vecinătate a lui \(x_0\) conține o infinitate de puncte ale intervalului \([0,1]\) diferite de \(x_0\), deci \(x_0\) este punct de acumulare.
Să considerăm acum capătul \(0\). Orice vecinătate a lui \(0\), adică orice interval de forma
\[ (-r,r), \qquad r>0, \]
conține puncte ale lui \([0,1]\) diferite de \(0\), de exemplu puncte pozitive suficient de mici. Așadar, \(0\) este punct de acumulare.
În același mod, orice vecinătate a lui \(1\) conține puncte ale lui \([0,1]\) diferite de \(1\), de exemplu puncte mai mici decât \(1\) și suficient de apropiate de el. Prin urmare, și \(1\) este punct de acumulare.
Niciun punct exterior lui \([0,1]\) nu este punct de acumulare, căci dacă \(x_0<0\) sau \(x_0>1\), există o vecinătate a lui \(x_0\) care nu intersectează \([0,1]\).
Prin urmare,
\[ A'=[0,1]. \]
Întrucât orice punct al lui \(A\) este punct de acumulare, mulțimea \(A\) nu are puncte izolate.
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine punctele izolate și punctele de acumulare ale lui
\[ A=\mathbb Z. \]
Rezultat
Toate numerele întregi sunt puncte izolate și
\[ A'=\varnothing. \]
Rezolvare
Să considerăm un întreg oarecare \(n\in\mathbb Z\). Vecinătatea
\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]
conține un singur număr întreg, anume \(n\) însuși.
Într-adevăr, întregul precedent este \(n-1\), iar cel următor este \(n+1\), ambele aflate la distanța \(1\) față de \(n\). Alegând o rază mai mică decât \(1\), de exemplu \(\displaystyle \frac12\), excludem toate celelalte numere întregi.
Așadar, orice \(n\in\mathbb Z\) este punct izolat al lui \(\mathbb Z\).
În plus, niciun număr real nu este punct de acumulare al lui \(\mathbb Z\). Intuitiv, numerele întregi nu se aglomerează în niciun punct al dreptei reale: sunt mereu separate unele de altele printr-o distanță egală cu \(1\).
Prin urmare,
\[ \mathbb Z'=\varnothing. \]
Exercițiul 5 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine mulțimea derivată a lui
\[ A=\mathbb Q. \]
Rezultat
Orice număr real este punct de acumulare al lui \(\mathbb Q\). Deci
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
Mulțimea \(\mathbb Q\) nu are puncte izolate.
Rezolvare
Proprietatea fundamentală pe care o folosim este densitatea numerelor raționale în \(\mathbb R\): între două numere reale distincte se află întotdeauna cel puțin un număr rațional — ba chiar o infinitate.
Fie \(x_0\in\mathbb R\). Trebuie să verificăm faptul că orice vecinătate a lui \(x_0\) conține un număr rațional diferit de \(x_0\).
Să considerăm o vecinătate arbitrară
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0. \]
Deoarece numerele raționale sunt dense în \(\mathbb R\), în acest interval există o infinitate de numere raționale. În particular, există cel puțin un număr rațional ce aparține vecinătății și este diferit de \(x_0\).
Așadar, \(x_0\) este punct de acumulare al lui \(\mathbb Q\). Cum \(x_0\) era un număr real arbitrar, orice număr real este punct de acumulare al lui \(\mathbb Q\).
Prin urmare,
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
În plus, \(\mathbb Q\) nu are puncte izolate, deoarece orice vecinătate a unui număr rațional conține o infinitate de alte numere raționale.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Rezultat
Toate punctele de forma \(\displaystyle \frac1n\) sunt puncte izolate. Singurul punct de acumulare este \(0\). Deci
\[ A'=\{0\}. \]
Rezolvare
Elementele lui \(A\) sunt
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
Ele se apropie tot mai mult de \(0\), însă \(0\) nu aparține lui \(A\).
Să arătăm mai întâi că \(0\) este punct de acumulare. Fie \(r>0\). Deoarece \(\displaystyle \frac1n\to0\), există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ 0<\frac1n<r. \]
Așadar, vecinătatea \((-r,r)\) conține un element al lui \(A\) diferit de \(0\). Acest lucru este valabil pentru orice \(r>0\), deci \(0\) este punct de acumulare.
Să arătăm acum că orice punct \(\displaystyle \frac1n\) este izolat.
Dacă \(n=1\), este suficient să alegem o rază
\[ r<1-\frac12=\frac12. \]
Vecinătatea \((1-r,1+r)\) nu conține alte elemente ale lui \(A\).
Dacă \(n\ge2\), punctul \(\displaystyle \frac1n\) este cuprins între cei doi termeni consecutivi
\[ \frac1{n-1} \qquad\text{și}\qquad \frac1{n+1}. \]
Punem
\[ r=\frac12 \min\!\left\{ \frac1{n-1}-\frac1n, \frac1n-\frac1{n+1} \right\}. \]
Deoarece cele două cantități din interiorul minimului sunt pozitive, rezultă \(r>0\).
Cu această alegere, vecinătatea
\[ \left(\frac1n-r,\frac1n+r\right) \]
nu conține niciun alt element al lui \(A\). Prin urmare, \(\displaystyle \frac1n\) este punct izolat.
Singurul punct de acumulare este, deci, \(0\), și de aceea
\[ A'=\{0\}. \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Rezultat
Punctul \(0\) este punct de acumulare și aparține lui \(A\). Toate punctele \(\displaystyle \frac1n\) sunt izolate. În plus,
\[ A'=\{0\}. \]
Rezolvare
Mulțimea este formată din punctul \(0\) și din punctele șirului
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
Punctul \(0\) aparține mulțimii, dar acest lucru nu îl împiedică să fie totodată punct de acumulare. Într-adevăr, pentru orice \(r>0\) există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ 0<\frac1n<r. \]
Așadar, orice vecinătate a lui \(0\) conține puncte ale lui \(A\) diferite de \(0\).
Să considerăm acum un punct de forma \(\displaystyle \frac1n\). Cu \(n\) fixat, acest punct este separat de celelalte elemente ale mulțimii printr-o distanță pozitivă. Putem, prin urmare, alege o vecinătate suficient de mică ce conține numai \(\displaystyle \frac1n\).
În consecință, orice punct \(\displaystyle \frac1n\) este izolat.
Singurul punct de acumulare este \(0\), deci
\[ A'=\{0\}. \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=(0,1)\cup\{2\}. \]
Rezultat
Punctul \(2\) este izolat. Punctele de acumulare sunt exact punctele lui \([0,1]\). Deci
\[ A'=[0,1]. \]
Rezolvare
Mulțimea \(A\) este formată din intervalul deschis \((0,1)\) și din punctul izolat \(2\).
După cum știm deja, intervalul \((0,1)\) are drept puncte de acumulare toate punctele intervalului închis \([0,1]\). Într-adevăr, orice vecinătate a unui punct al lui \([0,1]\) conține elemente ale lui \((0,1)\).
Punctul \(2\), în schimb, nu este punct de acumulare. Într-adevăr, putem alege, de exemplu, vecinătatea
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Această vecinătate conține punctul \(2\), dar nu conține alte elemente ale lui \(A\), căci intervalul \((0,1)\) se află în întregime la stânga lui \(\displaystyle \frac32\).
Așadar, \(2\) este punct izolat.
Nu există alte puncte de acumulare: punctele exterioare lui \([0,1]\), diferite de \(2\), pot fi separate de \(A\) printr-o vecinătate potrivită, în timp ce \(2\) este izolat.
Prin urmare,
\[ A'=[0,1]. \]
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=[0,1]\cup\{2,3\}. \]
Rezultat
Punctele \(2\) și \(3\) sunt izolate. Mulțimea derivată este
\[ A'=[0,1]. \]
Rezolvare
Intervalul \([0,1]\) este alcătuit în întregime din puncte de acumulare. Într-adevăr, orice punct interior al intervalului are o infinitate de puncte ale mulțimii arbitrar de apropiate, și la fel se întâmplă cu capetele \(0\) și \(1\).
Să considerăm acum punctul \(2\). Putem alege o vecinătate mică a lui \(2\), de exemplu
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Această vecinătate conține \(2\), dar nu conține puncte ale lui \([0,1]\) și nici punctul \(3\). Așadar, \(2\) este izolat.
În mod analog, pentru punctul \(3\) putem alege o vecinătate suficient de mică, de exemplu
\[ \left(\frac52,\frac72\right), \]
care conține \(3\), dar nu conține alte puncte ale lui \(A\). Așadar, și \(3\) este izolat.
Punctele izolate nu aparțin mulțimii derivate, deoarece nu sunt puncte de acumulare. În consecință,
\[ A'=[0,1]. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Rezultat
Toate punctele de forma \(\displaystyle 1+\frac1n\) sunt izolate. Singurul punct de acumulare este \(1\). Deci
\[ A'=\{1\}. \]
Rezolvare
Elementele mulțimii sunt
\[ 2,\frac32,\frac43,\frac54,\ldots \]
Sunt toate mai mari decât \(1\) și se apropie de \(1\) pe măsură ce \(n\) devine mare, deoarece
\[ 1+\frac1n\to1. \]
Așadar, \(1\) este punct de acumulare al lui \(A\). Într-adevăr, dacă \(r>0\), există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ \frac1n<r. \]
Atunci
\[ \left|\left(1+\frac1n\right)-1\right|=\frac1n<r. \]
Așadar, orice vecinătate a lui \(1\) conține elemente ale lui \(A\).
Fiecare punct de forma \(\displaystyle 1+\frac1n\), în schimb, este izolat. Într-adevăr, cu \(n\) fixat, acest punct este separat de ceilalți termeni ai șirului printr-o distanță pozitivă.
Prin urmare,
\[ A'=\{1\}. \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=(-1,0)\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Rezultat
Punctele de forma \(\displaystyle \frac1n\) sunt izolate. Mulțimea derivată este
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}=[-1,0]. \]
În particular, \(0\) este punct de acumulare atât al intervalului \((-1,0)\), cât și al șirului \(\displaystyle \frac1n\).
Rezolvare
Mulțimea \(A\) este reuniunea a două părți:
- intervalul \((-1,0)\);
- șirul \(\displaystyle 1,\frac12,\frac13,\ldots\).
Intervalul \((-1,0)\) are drept puncte de acumulare toate punctele intervalului închis \([-1,0]\). Într-adevăr, orice punct interior este în mod evident punct de acumulare, în timp ce capetele \(-1\) și \(0\), deși nu aparțin intervalului, sunt atinse de puncte ale intervalului arbitrar de apropiate.
Șirul \(\displaystyle \frac1n\) are drept unic punct de acumulare \(0\).
Reunind cele două informații, obținem
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}. \]
Deoarece \(0\in[-1,0]\), putem simplifica:
\[ A'=[-1,0]. \]
Punctele de forma \(\displaystyle \frac1n\) sunt izolate, deoarece fiecare dintre ele poate fi separat de ceilalți termeni ai șirului și de intervalul \((-1,0)\), care se află în întregime în partea negativă a dreptei reale.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Rezultat
Mulțimea are două puncte de acumulare:
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Toate elementele lui \(A\) sunt puncte izolate.
Rezolvare
Studiem separat termenii de indice par și pe cei de indice impar.
Dacă \(n\) este par, atunci \((-1)^n=1\), deci termenii corespunzători sunt de forma
\[ 1+\frac1n. \]
Când \(n\to\infty\), acești termeni tind către \(1\).
Dacă \(n\) este impar, atunci \((-1)^n=-1\), deci termenii corespunzători sunt de forma
\[ -1+\frac1n. \]
Când \(n\to\infty\), acești termeni tind către \(-1\).
Așadar, cei doi candidați firești pentru a fi puncte de acumulare sunt \(-1\) și \(1\).
Să arătăm că amândoi sunt astfel. Orice vecinătate a lui \(1\) conține termeni de indice par ai șirului, deoarece
\[ 1+\frac1n\to1 \]
de-a lungul indicilor pari. În mod analog, orice vecinătate a lui \(-1\) conține termeni de indice impar ai șirului, deoarece
\[ -1+\frac1n\to-1 \]
de-a lungul indicilor impari.
Toate elementele mulțimii sunt izolate: fixând un termen al șirului, acesta este separat de ceilalți termeni printr-o distanță pozitivă, întrucât nu coincide cu un punct limită, ci cu o singură valoare a șirului.
Prin urmare,
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\left\{2+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Rezultat
Toate elementele lui \(A\) sunt izolate. Punctele de acumulare sunt \(0\) și \(2\), deci
\[ A'=\{0,2\}. \]
Rezolvare
Mulțimea este reuniunea a două șiruri:
\[ \frac1n\to0 \]
și
\[ 2+\frac1n\to2. \]
Primul șir are drept unic punct de acumulare \(0\), deoarece termenii săi devin arbitrar de apropiați de \(0\).
Al doilea șir are drept unic punct de acumulare \(2\), deoarece termenii săi devin arbitrar de apropiați de \(2\).
Așadar, cu certitudine,
\[ 0,2\in A'. \]
Nu există alte puncte de acumulare. Într-adevăr, departe de \(0\) și de \(2\), fiecare dintre șiruri are doar un număr finit de termeni în orice regiune mărginită separată de aceste două puncte limită; în consecință, se poate alege o vecinătate care să nu conțină elemente ale lui \(A\) diferite de punctul eventual considerat.
Fiecare element al celor două șiruri este izolat. Fixând un termen, putem, într-adevăr, alege o vecinătate suficient de mică ce nu conține nici alți termeni ai aceluiași șir, nici termeni ai celuilalt șir.
Concluzionăm deci că
\[ A'=\{0,2\}. \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se determine mulțimea derivată a lui
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Rezultat
Toate elementele lui \(A\) sunt izolate și
\[ A'=\{1\}. \]
Rezolvare
Rescriem termenul general:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
Din această formă se vede imediat că
\[ \frac{n}{n+1}\to1. \]
Așadar, \(1\) este punct de acumulare al lui \(A\). Într-adevăr, dat fiind \(r>0\), putem alege \(n\) suficient de mare astfel încât
\[ \frac1{n+1}<r. \]
Atunci
\[ \left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\frac1{n+1}<r. \]
Așadar, orice vecinătate a lui \(1\) conține elemente ale lui \(A\).
Fiecare punct de forma \(\displaystyle \frac{n}{n+1}\) este izolat. Într-adevăr, termenii sunt distincți și, fixând un termen, se poate alege o vecinătate suficient de mică ce nu conține alte elemente ale șirului.
Prin urmare, singurul punct de acumulare este \(1\):
\[ A'=\{1\}. \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Să se determine punctele izolate și mulțimea derivată a lui
\[ A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup[2,3]. \]
Rezultat
Punctele de forma \(\displaystyle \frac1n\) sunt izolate. Mulțimea derivată este
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Rezolvare
Mulțimea \(A\) este formată din două părți: un șir care tinde către \(0\) și un interval închis \([2,3]\).
Șirul
\[ \frac1n \]
are drept unic punct de acumulare \(0\). Toți termenii săi sunt izolați.
Intervalul \([2,3]\), în schimb, are drept mulțime derivată chiar pe el însuși. Într-adevăr, orice punct al lui \([2,3]\), inclusiv capetele, este punct de acumulare al intervalului.
Deoarece șirul \(\displaystyle \frac1n\) se află în \((0,1]\), iar intervalul \([2,3]\) este separat de el, nu apar puncte de acumulare suplimentare între \(1\) și \(2\).
Așadar, mulțimea derivată este
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Să se determine mulțimea derivată a lui
\[ A=\left\{\frac{m}{n}:m,n\in\mathbb N,\ 0<m<n\right\}. \]
Rezultat
Avem
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1), \]
astfel încât
\[ A'=[0,1]. \]
Mulțimea \(A\) nu are puncte izolate.
Rezolvare
Mulțimea \(A\) este formată din toate fracțiile \(\displaystyle \frac mn\), cu \(m,n\in\mathbb N\) și \(0<m<n\). Condiția \(0<m<n\) implică
\[ 0<\frac mn<1. \]
În plus, orice număr rațional cuprins între \(0\) și \(1\) poate fi scris sub forma \(\displaystyle \frac mn\), cu \(0<m<n\). Deci
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1). \]
Deoarece numerele raționale sunt dense în \(\mathbb R\), orice vecinătate a unui punct \(x_0\in(0,1)\) conține o infinitate de numere raționale ce aparțin lui \((0,1)\). Așadar, orice punct al lui \((0,1)\) este punct de acumulare.
Și \(0\), și \(1\) sunt puncte de acumulare, deoarece orice vecinătate a lor conține numere raționale mai mari decât \(0\), respectiv mai mici decât \(1\).
Niciun punct exterior lui \([0,1]\) nu poate fi punct de acumulare, deoarece poate fi separat de intervalul \((0,1)\) printr-o vecinătate potrivită.
Prin urmare,
\[ A'=[0,1]. \]
În cele din urmă, \(A\) nu are puncte izolate, deoarece orice vecinătate a unui punct rațional al lui \((0,1)\) conține o infinitate de alte numere raționale ale lui \((0,1)\).
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Să se determine mulțimea derivată a lui
\[ A=\mathbb Q\cap[0,1]. \]
Rezultat
Mulțimea derivată este
\[ A'=[0,1]. \]
Mulțimea \(A\) nu are puncte izolate.
Rezolvare
Să considerăm un punct \(x_0\in[0,1]\). Vrem să arătăm că orice vecinătate a lui \(x_0\) conține puncte ale lui \(A\) diferite de \(x_0\).
Dacă \(x_0\in(0,1)\), atunci orice vecinătate a lui \(x_0\) conține o infinitate de numere raționale. Cum vecinătatea poate fi aleasă suficient de mică încât să rămână în \([0,1]\), ea conține o infinitate de elemente ale lui \(\mathbb Q\cap[0,1]\).
Dacă \(x_0=0\), orice vecinătate a lui \(0\) conține numere raționale pozitive arbitrar de mici, deci conține elemente ale lui \(A\) diferite de \(0\).
Dacă \(x_0=1\), orice vecinătate a lui \(1\) conține numere raționale mai mici decât \(1\) și arbitrar de apropiate de el, deci conține elemente ale lui \(A\) diferite de \(1\).
Așadar, orice punct al lui \([0,1]\) este punct de acumulare al lui \(A\).
Dacă, în schimb, \(x_0<0\) sau \(x_0>1\), există o vecinătate a lui \(x_0\) care nu intersectează \([0,1]\) și, prin urmare, nu intersectează \(A\). Astfel de puncte nu sunt puncte de acumulare.
Concluzionăm că
\[ A'=[0,1]. \]
În plus, \(A\) nu are puncte izolate, deoarece orice vecinătate a unui punct al său conține o infinitate de alte numere raționale ale intervalului.
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
este închisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) nu este închisă, deoarece
\[ A'=\{0\} \]
dar \(0\notin A\).
Rezolvare
O mulțime \(A\subseteq\mathbb R\) este închisă dacă și numai dacă conține toate punctele sale de acumulare.
În acest exercițiu avem
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Punctul \(0\) este punct de acumulare al lui \(A\), deoarece
\[ \frac1n\to0. \]
Într-adevăr, pentru orice \(r>0\) există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ 0<\frac1n<r. \]
Așadar, orice vecinătate a lui \(0\) conține elemente ale lui \(A\).
Cu toate acestea, \(0\notin A\), deoarece elementele lui \(A\) sunt toate pozitive și de forma \(\displaystyle \frac1n\), cu \(n\ge1\).
Așadar, \(A\) nu conține toate punctele sale de acumulare. Prin urmare, \(A\) nu este închisă în \(\mathbb R\).
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Să se determine punctele de acumulare ale lui
\[ A=\left\{\frac1n+\frac1m:n,m\in\mathbb N,\ n,m\ge1\right\}. \]
Rezultat
Mulțimea derivată este
\[ A'=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Rezolvare
Elementele lui \(A\) sunt sume de doi termeni de forma \(\displaystyle \frac1n\). Pentru a înțelege unde se pot acumula, fixăm mai întâi unul dintre indici.
Cu \(n\) fixat, să considerăm șirul obținut variindu-l pe \(m\):
\[ \frac1n+\frac1m. \]
Deoarece \(\displaystyle \frac1m\to0\), obținem
\[ \frac1n+\frac1m\to\frac1n. \]
Așadar, orice punct de forma \(\displaystyle \frac1n\) este punct de acumulare al lui \(A\).
În plus, lăsând ambii indici să tindă la infinit, obținem
\[ \frac1n+\frac1m\to0. \]
Așadar, și \(0\) este punct de acumulare al lui \(A\).
Să arătăm acum că nu există alte puncte de acumulare. Dacă un șir de elemente distincte ale lui \(A\) converge, el este de forma
\[ x_k=\frac1{n_k}+\frac1{m_k}. \]
Dacă cel puțin unul dintre \(n_k\) și \(m_k\) rămâne constant de-a lungul unui subșir, atunci — întrucât elementele sunt distincte — celălalt indice trebuie să tindă la infinit, iar limita posibilă este de forma \(\displaystyle \frac1n\). Dacă, în schimb, ambii indici tind la infinit, atunci ambii termeni tind către \(0\), iar limita este \(0\).
Prin urmare, singurele puncte de acumulare sunt
\[ \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se determine mulțimea derivată a lui
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x=\frac1n+\frac{k}{m},\ n,m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\}. \]
Rezultat
Mulțimea derivată este
\[ A'=[0,2]. \]
Rezolvare
Să observăm că numerele de forma \(\displaystyle \frac{k}{m}\), cu \(1\le k<m\), sunt raționale ce aparțin intervalului \((0,1)\) și sunt dense în \((0,1)\).
Cu \(n\in\mathbb N\) fixat, mulțimea
\[ \left\{\frac1n+\frac{k}{m}:m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\} \]
este, prin urmare, densă în intervalul
\[ \left(\frac1n,1+\frac1n\right). \]
Pentru \(n=1\) obținem o submulțime densă în \((1,2)\); pentru \(n=2\) obținem o submulțime densă în \(\left(\frac12,\frac32\right)\); și așa mai departe.
În consecință, toate punctele intervalului \((0,2)\) sunt puncte de acumulare ale lui \(A\).
Și \(0\) este punct de acumulare. Într-adevăr, putem lua \(n\) foarte mare și, de exemplu, alege \(\displaystyle \frac{k}{m}\) foarte mic. În acest mod se obțin elemente ale lui \(A\) pozitive și arbitrar de apropiate de \(0\).
Și \(2\) este punct de acumulare. Într-adevăr, fixând \(n=1\), putem alege numere raționale \(\displaystyle \frac{k}{m}\in(0,1)\) arbitrar de apropiate de \(1\). Atunci
\[ 1+\frac{k}{m}\to2. \]
Așadar, orice vecinătate a lui \(2\) conține puncte ale lui \(A\) diferite de \(2\).
În cele din urmă, niciun punct exterior lui \([0,2]\) nu poate fi punct de acumulare. Într-adevăr, orice element al lui \(A\) satisface
\[ 0<\frac1n+\frac{k}{m}<2. \]
Așadar, \(A\subseteq(0,2)\), iar orice punct \(x_0<0\) sau \(x_0>2\) poate fi separat de \(A\) printr-o vecinătate potrivită.
Concluzionăm deci că
\[ A'=[0,2]. \]